Упр.813 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найти наибольший рациональный корень уравнения $$|x^2-8x+5|=2x$$.

Рассмотрим уравнение

$$|x^2-8x+5|=2x.$$

Так как левая часть неотрицательна, то $$2x\ge 0,$$ значит $$x\ge 0.$$

Найдём, при каких значениях $$x$$ выражение под модулем неотрицательно:

$$x^2-8x+5=0,$$

$$D=8^2-4\cdot 5=64-20=44,$$

$$x_{1,2}=\frac{8\pm\sqrt{44}}{2}=4\pm\sqrt{11}.$$

Следовательно,

$$x^2-8x+5\ge 0 \quad \text{при} \quad x\le 4-\sqrt{11} \ \text{или}\ x\ge 4+\sqrt{11},$$

а

$$x^2-8x+5<0 \quad \text{при} \quad 4-\sqrt{11}<x<4+\sqrt{11}.$$

Рассмотрим два случая.

1) Если $$x\le 4-\sqrt{11}$$ или $$x\ge 4+\sqrt{11},$$ то

$$x^2-8x+5=2x,$$

$$x^2-10x+5=0.$$

$$D=10^2-4\cdot 5=100-20=80,$$

$$x=\frac{10\pm\sqrt{80}}{2}=5\pm 2\sqrt{5}.$$

Из этих корней условию подходит только $$x=5+2\sqrt{5},$$ но он не рационален.

2) Если $$4-\sqrt{11}<x<4+\sqrt{11},$$ то

$$-(x^2-8x+5)=2x,$$

$$x^2-6x+5=0.$$

$$D=6^2-4\cdot 5=36-20=16,$$

$$x=\frac{6\pm 4}{2}.$$

Получаем

$$x_1=1,\quad x_2=5.$$

Оба корня подходят, и наибольший рациональный корень равен $$5$$.

Ответ

5