Упр.812 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Найти наименьший корень уравнения $$|x^2-3x-6|=2x$$.

Рассмотрим уравнение $$|x^2-3x-6|=2x.$$

Так как левая часть неотрицательна, то $$2x\ge 0,$$ значит $$x\ge 0.$$

Найдём, при каких значениях $$x$$ выражение под модулем неотрицательно:

$$x^2-3x-6=0,$$

$$D=3^2+4\cdot 6=33,$$

$$x_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{33}}{2}.$$

Следовательно,

$$x^2-3x-6\ge 0 \quad \text{при} \quad x\le \frac{3-\sqrt{33}}{2} \ \text{или} \ x\ge \frac{3+\sqrt{33}}{2},$$

а

$$x^2-3x-6<0 \quad \text{при} \quad \frac{3-\sqrt{33}}{2}<x<\frac{3+\sqrt{33}}{2}.$$

1) Если $$x^2-3x-6\ge 0,$$ то

$$x^2-3x-6=2x,$$

$$x^2-5x-6=0,$$

$$D=25+24=49,$$

$$x=\frac{5\pm 7}{2},$$

откуда $$x_1=-1,\; x_2=6.$$

С учётом области случая подходит только $$x=6.$$

2) Если $$x^2-3x-6<0,$$ то

$$-(x^2-3x-6)=2x,$$

$$-x^2+3x+6=2x,$$

$$x^2-x-6=0,$$

$$D=1+24=25,$$

$$x=\frac{1\pm 5}{2},$$

откуда $$x_1=-2,\; x_2=3.$$

С учётом условия случая подходит только $$x=3.$$

Итак, корни уравнения: $$x=3$$ и $$x=6.$$ Наименьший из них равен $$3.$$

Ответ

3