Упр.81 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Найти все принадлежащие промежутку $$(-\pi; 2\pi)$$ решения неравенства:
   1) $$\operatorname{tg}x \geq 1$$;
   2) $$\operatorname{tg}x < \frac{\sqrt{3}}{3}$$;
   3) $$\operatorname{ctg}x < -1$$;
   4) $$\operatorname{ctg}x \geq -\sqrt{3}$$.

1. $$\tg x \ge 1$$

   Тангенс принимает значение $$1$$ при $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$ и возрастает на каждом промежутке своей области определения, поэтому

   $$\frac{\pi}{4}+\pi n \le x < \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   На промежутке $$(-\pi;2\pi)$$ получаем:

   $$-\frac{3\pi}{4}\le x<-\frac{\pi}{2},\quad \frac{\pi}{4}\le x<\frac{\pi}{2},\quad \frac{5\pi}{4}\le x<\frac{3\pi}{2}.$$

2. $$\tg x<\frac{\sqrt3}{3}$$

   Так как $$\frac{\sqrt3}{3}=\tg\frac{\pi}{6},$$ а тангенс возрастает, то

   $$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x<\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   На промежутке $$(-\pi;2\pi)$$:

   $$-\pi<x<-\frac{5\pi}{6},\quad -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{6},\quad \frac{\pi}{2}<x<\frac{7\pi}{6},\quad \frac{3\pi}{2}<x<2\pi.$$

3. $$\ctg x<-1$$

   Так как $$-1=\ctg\frac{3\pi}{4},$$ а котангенс убывает на каждом промежутке $$\pi n<x<\pi(n+1),$$ то

   $$\frac{3\pi}{4}+\pi n<x<\pi+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   На промежутке $$(-\pi;2\pi)$$ получаем:

   $$-\frac{\pi}{4}<x<0,\quad \frac{3\pi}{4}<x<\pi,\quad \frac{7\pi}{4}<x<2\pi.$$

4. $$\ctg x\ge -\sqrt3$$

   Так как $$-\sqrt3=\ctg\frac{5\pi}{6},$$ а котангенс убывает, то

   $$\pi n<x\le \frac{5\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   На промежутке $$(-\pi;2\pi)$$:

   $$-\pi<x\le -\frac{\pi}{6},\quad 0<x\le \frac{5\pi}{6},\quad \pi<x\le \frac{11\pi}{6}.$$

Ответ

1) $$\left[-\frac{3\pi}{4};-\frac{\pi}{2}\right)\cup\left[\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}\right)\cup\left[\frac{5\pi}{4};\frac{3\pi}{2}\right)$$

2) $$(-\pi;-\frac{5\pi}{6})\cup\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2};\frac{7\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{3\pi}{2};2\pi\right)$$

3) $$\left(-\frac{\pi}{4};0\right)\cup\left(\frac{3\pi}{4};\pi\right)\cup\left(\frac{7\pi}{4};2\pi\right)$$

4) $$\left(-\pi;-\frac{\pi}{6}\right]\cup\left(0;\frac{5\pi}{6}\right]\cup\left(\pi;\frac{11\pi}{6}\right]$$