Упр.81 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
1) tgx > = 1;
2) tgx < корень 3/3;
3) ctgx < -1;
4) ctgx > = — корень 3 .
$$\tg x \ge 1$$
Тангенс принимает значение $$1$$ при $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$ и возрастает на каждом промежутке своей области определения, поэтому
$$\frac{\pi}{4}+\pi n \le x < \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
На промежутке $$(-\pi;2\pi)$$ получаем:
$$-\frac{3\pi}{4}\le x<-\frac{\pi}{2},\quad \frac{\pi}{4}\le x<\frac{\pi}{2},\quad \frac{5\pi}{4}\le x<\frac{3\pi}{2}.$$
$$\tg x<\frac{\sqrt3}{3}$$
Так как $$\frac{\sqrt3}{3}=\tg\frac{\pi}{6},$$ а тангенс возрастает, то
$$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x<\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
На промежутке $$(-\pi;2\pi)$$:
$$-\pi<x<-\frac{5\pi}{6},\quad -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{6},\quad \frac{\pi}{2}<x<\frac{7\pi}{6},\quad \frac{3\pi}{2}<x<2\pi.$$
$$\ctg x<-1$$
Так как $$-1=\ctg\frac{3\pi}{4},$$ а котангенс убывает на каждом промежутке $$\pi n<x<\pi(n+1),$$ то
$$\frac{3\pi}{4}+\pi n<x<\pi+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
На промежутке $$(-\pi;2\pi)$$ получаем:
$$-\frac{\pi}{4}<x<0,\quad \frac{3\pi}{4}<x<\pi,\quad \frac{7\pi}{4}<x<2\pi.$$
$$\ctg x\ge -\sqrt3$$
Так как $$-\sqrt3=\ctg\frac{5\pi}{6},$$ а котангенс убывает, то
$$\pi n<x\le \frac{5\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
На промежутке $$(-\pi;2\pi)$$:
$$-\pi<x\le -\frac{\pi}{6},\quad 0<x\le \frac{5\pi}{6},\quad \pi<x\le \frac{11\pi}{6}.$$
Ответ
1) $$\left[-\frac{3\pi}{4};-\frac{\pi}{2}\right)\cup\left[\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}\right)\cup\left[\frac{5\pi}{4};\frac{3\pi}{2}\right)$$
2) $$(-\pi;-\frac{5\pi}{6})\cup\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2};\frac{7\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{3\pi}{2};2\pi\right)$$
3) $$\left(-\frac{\pi}{4};0\right)\cup\left(\frac{3\pi}{4};\pi\right)\cup\left(\frac{7\pi}{4};2\pi\right)$$
4) $$\left(-\pi;-\frac{\pi}{6}\right]\cup\left(0;\frac{5\pi}{6}\right]\cup\left(\pi;\frac{11\pi}{6}\right]$$
