Упр.808 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. При каком условии трёхчлен $$ax^2+bx+c$$ является квадратом двучлена?

Трёхчлен $$ax^2+bx+c$$ является квадратом двучлена тогда и только тогда, когда его можно представить в виде

$$ax^2+bx+c=(mx+n)^2.$$

Раскроем квадрат:

$$(mx+n)^2=m^2x^2+2mnx+n^2.$$

Сравнивая коэффициенты, получаем:

$$a=m^2,\quad b=2mn,\quad c=n^2.$$

Отсюда

$$b^2=4m^2n^2=4ac.$$

Кроме того, так как $$a=m^2,$$ то обязательно $$a>0.$$

Значит, трёхчлен $$ax^2+bx+c$$ является квадратом двучлена при условиях

$$a>0,\quad b^2=4ac.$$

Ответ

$$a>0,\quad b^2=4ac.$$