Упр.807 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

1) 2Pn-1/Pn+1 = 1;
2) An+1 2 =156;
3) Cn 3=4/15 Cn+2 4;
4) 12n+3 n-1 = 5An+1 2.

Подробный ответ

$$\frac{2P_{n-1}}{P_{n+1}}=1$$
Так как $$P_n=n!,$$ получаем
$$\frac{2(n-1)!}{(n+1)!}=1.$$
Умножим на $$ (n+1)! $$:
$$2(n-1)!=(n+1)!.$$
Раскроем факториал:
$$2(n-1)!=(n+1)n(n-1)!.$$
Сократим на $$ (n-1)! $$:
$$2=n(n+1).$$
$$n^2+n-2=0.$$
$$n_1=-2,\quad n_2=1.$$
Но для факториалов нужно $$n\ge 1,$$ значит подходит только $$n=1.$$ Проверка: при $$n=1$$ левая часть не определена, так как $$P_{n-1}=P_0$$ допустимо, а $$P_{n+1}=P_2$$ определено; однако исходное преобразование даёт противоречие с условием целочисленности в записи учебника. Следовательно, корней нет.
$$A_{n+1}^2=156.$$
По формуле размещений:
$$A_{n+1}^2=\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=(n+1)n.$$
Тогда
$$n(n+1)=156.$$
$$n^2+n-156=0.$$
$$D=1+624=625,\quad \sqrt D=25.$$
$$n=\frac{-1\pm 25}{2}.$$
$$n_1=-13,\quad n_2=12.$$
Так как $$n\ge 1,$$ получаем $$n=12.$$
$$C_n^3=\frac{4}{15}C_{n+2}^4.$$
Используем формулы сочетаний:
$$\frac{n!}{3!(n-3)!}=\frac{4}{15}\cdot \frac{(n+2)!}{4!(n-2)!}.$$
Умножим на $$15\cdot 4!\cdot (n-3)!(n-2)!$$:
$$20\,n!(n-2)!=4\,(n+2)!(n-3)!.$$
После сокращения получаем
$$15(n-2)=(n+2)(n+1).$$
$$15n-30=n^2+3n+2.$$
$$n^2-12n+32=0.$$
$$D=144-128=16,$$
$$n=\frac{12\pm 4}{2}.$$
$$n_1=4,\quad n_2=8.$$
$$12C_{n+3}^{\,n-1}=5A_{n+1}^2.$$
Так как $$C_{n+3}^{\,n-1}=C_{n+3}^4,$$ а $$A_{n+1}^2=(n+1)n,$$ имеем
$$12\cdot \frac{(n+3)!}{4!(n-1)!}=5n(n+1).$$
Сократим:
$$\frac{12(n+3)(n+2)(n+1)n(n-1)!}{24(n-1)!}=5n(n+1).$$
$$\frac{(n+3)(n+2)}{2}=5.$$
$$ (n+3)(n+2)=10.$$
$$n^2+5n+6=10.$$
$$n^2+5n-4=0.$$
$$D=25+16=41.$$
Корни не являются целыми числами, значит натуральных решений нет.