Упр.806 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$x^2+ax-b^2+\frac{a^2}{4}=0$$
2. $$\frac{2x}{2x-a}-\frac{x}{2x+a}=\frac{5a^2}{4x^2-a^2}$$

1. $$x^2+ax-b^2+\frac{a^2}{4}=0$$

   Преобразуем:
   $$x^2+ax-\left(b^2-\frac{a^2}{4}\right)=0.$$

   Найдём дискриминант:
   $$D=a^2+4\left(b^2-\frac{a^2}{4}\right)=a^2+4b^2-a^2=4b^2.$$

   Тогда
   $$x=\frac{-a\pm\sqrt{4b^2}}{2}=\frac{-a\pm 2b}{2}=-\frac{a}{2}\pm b.$$

2. $$\frac{2x}{2x-a}-\frac{x}{2x+a}=\frac{5a^2}{4x^2-a^2}.$$

   Область допустимых значений:
   $$2x-a\ne 0,\quad 2x+a\ne 0 \quad \Rightarrow \quad x\ne \pm \frac{a}{2}.$$

   Умножим обе части на $$(2x-a)(2x+a)=4x^2-a^2$$:
   $$2x(2x+a)-x(2x-a)=5a^2.$$

   Раскроем скобки:
   $$4x^2+2ax-2x^2+ax-5a^2=0,$$
   $$2x^2+3ax-5a^2=0.$$

   Найдём дискриминант:
   $$D=(3a)^2-4\cdot 2\cdot(-5a^2)=9a^2+40a^2=49a^2.$$

   Тогда
   $$x=\frac{-3a\pm 7a}{4}.$$
   Получаем:
   $$x_1=\frac{-3a-7a}{4}=-\frac{5a}{2},\qquad x_2=\frac{-3a+7a}{4}=a.$$

   Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ

1) $$x=-\frac{a}{2}\pm b.$$
2) $$x=-\frac{5a}{2},\ a.$$