Упр.802 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$\frac{2}{x^2-x+1}-\frac{1}{x+1}=\frac{2x-1}{x^3+1}$$
2. $$\frac{2x^2}{x-1}-\frac{3x}{x+2}=\frac{2(4x-1)}{x^2+x-2}$$

1) Рассмотрим уравнение

$$\frac{2}{x^2-x+1}-\frac{1}{x+1}=\frac{2x-1}{x^3+1}.$$

Заметим, что

$$x^3+1=(x+1)(x^2-x+1).$$

Тогда, умножив обе части уравнения на $$x^3+1$$, получим:

$$2(x+1)-(x^2-x+1)=2x-1.$$

$$2x+2-x^2+x-1=2x-1,$$

$$-x^2+3x+1=2x-1,$$

$$-x^2+x+2=0,$$

$$x^2-x-2=0,$$

$$\left(x-2\right)\left(x+1\right)=0.$$

Отсюда $$x=2$$ или $$x=-1$$.

Проверим область допустимых значений:

$$x+1\ne 0,\quad x^3+1\ne 0.$$

Значение $$x=-1$$ не подходит, а $$x=2$$ подходит.

Следовательно, решение первого уравнения: $$x=2$$.

2) Рассмотрим уравнение

$$\frac{2x^2}{x-1}-\frac{3x}{x+2}=\frac{2(4x-1)}{x^2+x-2}.$$

Так как

$$x^2+x-2=(x-1)(x+2),$$

умножим обе части уравнения на $$x^2+x-2$$:

$$2x^2(x+2)-3x(x-1)=2(4x-1).$$

$$2x^3+4x^2-3x^2+3x=8x-2,$$

$$2x^3+x^2-5x+2=0.$$

Проверим разложение на множители:

$$2x^3+x^2-5x+2=(x-1)(2x^2+3x-2).$$

Тогда

$$\left(x-1\right)\left(2x^2+3x-2\right)=0.$$

Отсюда $$x=1$$ или

$$2x^2+3x-2=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=3^2-4\cdot 2\cdot(-2)=9+16=25,$$

$$x=\frac{-3\pm 5}{4}.$$

Получаем $$x_1=\frac12$$, $$x_2=-2$$.

Проверим ОДЗ:

$$x\ne 1,\quad x\ne -2.$$

Значение $$x=-2$$ не подходит, а $$x=1$$ не является корнем исходного уравнения после подстановки в знаменатели. Остаётся $$x=\frac12$$.

Ответ

1) $$2$$; 2) $$\frac12$$.