Упр.8 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$y=\sin x-5\cos x$$
2. $$y=\sin 2x-2\sin x$$
3. $$y=10\cos 2x-6\sin x\cos x+2\sin 2x$$
4. $$y=\cos 2x+3\cos x$$

1. $$y=\sin x-5\cos x$$

   Представим выражение в виде одной тригонометрической функции:

   $$y=\sqrt{1^2+5^2}\,\sin(x-\varphi)=\sqrt{26}\,\sin(x-\varphi),$$

   где $$\cos\varphi=\frac{1}{\sqrt{26}},\quad \sin\varphi=\frac{5}{\sqrt{26}}.$$

   Так как $$-1\le \sin(x-\varphi)\le 1,$$ то

   $$-\sqrt{26}\le y\le \sqrt{26}.$$

2. $$y=\sin^2 x-2\sin x$$

   Обозначим $$t=\sin x,$$ тогда $$t\in[-1;1]$$ и

   $$y=t^2-2t=(t-1)^2-1.$$

   Минимум достигается при $$t=1$$:

   $$y_{\min}=1-2=-1.$$

   Максимум на отрезке $$[-1;1]$$ достигается при $$t=-1$$:

   $$y_{\max}=1+2=3.$$

   Значит,

   $$E(y)=[-1;3].$$

3. $$y=10\cos^2 x-6\sin x\cos x+2\sin^2 x$$

   Используем формулы:

   $$\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2},\quad \sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2},\quad \sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}.$$

   Тогда

   $$\begin{aligned} y&=10\cdot\frac{1+\cos 2x}{2}-6\cdot\frac{\sin 2x}{2}+2\cdot\frac{1-\cos 2x}{2}\\ &=5(1+\cos 2x)-3\sin 2x+(1-\cos 2x)\\ &=6+4\cos 2x-3\sin 2x. \end{aligned}$$

   Представим в виде одной функции:

   $$4\cos 2x-3\sin 2x=5\cos(2x+\varphi),$$

   так как $$\sqrt{4^2+3^2}=5.$$

   Следовательно,

   $$y=6+5\cos(2x+\varphi).$$

   Поскольку $$-1\le \cos(2x+\varphi)\le 1,$$ получаем

   $$1\le y\le 11.$$

4. $$y=\cos^2 x+3\cos x$$

   Обозначим $$t=\cos x,$$ тогда $$t\in[-1;1]$$ и

   $$y=t^2+3t.$$

   На отрезке $$[-1;1]$$:

   $$y(-1)=1-3=-2,\qquad y(1)=1+3=4.$$

   Значит,

   $$E(y)=[-2;4].$$

Ответ

1) $$E(y)=[-\sqrt{26};\sqrt{26}]$$; 2) $$E(y)=[-1;3]$$; 3) $$E(y)=[1;11]$$; 4) $$E(y)=[-2;4]$$.