Упр.792 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Записать в алгебраической форме комплексное число: 1) $$4\left(\cos\frac{7\pi}{3}+i\sin\frac{7\pi}{3}\right)$$; 2) $$6\left(\cos\frac{9\pi}{4}+i\sin\frac{9\pi}{4}\right)$$.

Используем формулу приведения угла к промежутку $$[0;2\pi)$$ и значения тригонометрических функций для стандартных углов.

1. $$4\left(\cos \frac{7\pi}{3}+i\sin \frac{7\pi}{3}\right)=4\left(\cos \left(2\pi+\frac{\pi}{3}\right)+i\sin \left(2\pi+\frac{\pi}{3}\right)\right)$$

   $$=4\left(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}\right)=4\left(\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right)=2+2\sqrt3\,i.$$

2. $$6\left(\cos \frac{9\pi}{4}+i\sin \frac{9\pi}{4}\right)=6\left(\cos \left(2\pi+\frac{\pi}{4}\right)+i\sin \left(2\pi+\frac{\pi}{4}\right)\right)$$

   $$=6\left(\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}\right)=6\left(\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}i\right)=3\sqrt2+3\sqrt2\,i.$$

Ответ

1) $$2+2\sqrt3\,i$$; 2) $$3\sqrt2+3\sqrt2\,i$$.