Упр.791 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Записать в тригонометрической форме числа:

1. $$2$$;
2. $$-3$$;
3. $$3i$$;
4. $$-2i$$;
5. $$\sqrt{3}-i$$;
6. $$2-2i$$.

Комплексное число $$z=a+bi$$ записывают в тригонометрической форме так:

$$z=r(\cos \varphi+i\sin \varphi),$$

где $$r=\sqrt{a^2+b^2}$$ — модуль числа, а $$\varphi$$ — аргумент.

1. $$z=2=2+0i$$

   $$r=\sqrt{2^2+0^2}=2,\qquad \varphi=0$$

   $$z=2(\cos 0+i\sin 0)$$

2. $$z=-3=-3+0i$$

   $$r=\sqrt{(-3)^2+0^2}=3,\qquad \varphi=\pi$$

   $$z=3(\cos \pi+i\sin \pi)$$

3. $$z=3i=0+3i$$

   $$r=\sqrt{0^2+3^2}=3,\qquad \varphi=\frac{\pi}{2}$$

   $$z=3\left(\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}\right)$$

4. $$z=-2i=0-2i$$

   $$r=\sqrt{0^2+(-2)^2}=2,\qquad \varphi=\frac{3\pi}{2}$$

   $$z=2\left(\cos \frac{3\pi}{2}+i\sin \frac{3\pi}{2}\right)$$

5. $$z=\sqrt{3}-i$$

   $$r=\sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2}=\sqrt{4}=2$$

   $$\cos \varphi=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin \varphi=-\frac{1}{2}$$

   Так как число лежит в IV четверти, то $$\varphi=\frac{11\pi}{6}$$.

   $$z=2\left(\cos \frac{11\pi}{6}+i\sin \frac{11\pi}{6}\right)$$

6. $$z=2-2i$$

   $$r=\sqrt{2^2+(-2)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$$

   $$\cos \varphi=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin \varphi=\frac{-2}{2\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

   Так как число лежит в IV четверти, то $$\varphi=\frac{7\pi}{4}$$.

   $$z=2\sqrt{2}\left(\cos \frac{7\pi}{4}+i\sin \frac{7\pi}{4}\right)$$

Ответ

$$2=2(\cos 0+i\sin 0),$$
$$-3=3(\cos \pi+i\sin \pi),$$
$$3i=3\left(\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}\right),$$
$$-2i=2\left(\cos \frac{3\pi}{2}+i\sin \frac{3\pi}{2}\right),$$
$$\sqrt{3}-i=2\left(\cos \frac{11\pi}{6}+i\sin \frac{11\pi}{6}\right),$$
$$2-2i=2\sqrt{2}\left(\cos \frac{7\pi}{4}+i\sin \frac{7\pi}{4}\right).$$