Упр.79 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
С помощью свойств функций $$y=\operatorname{tg}x$$ и $$y=\operatorname{ctg}x$$ сравнить числа:
- а) $$\operatorname{tg}\frac{\pi}{5}$$ и $$\operatorname{tg}\frac{\pi}{7}$$;
б) $$\operatorname{ctg}\frac{7\pi}{8}$$ и $$\operatorname{ctg}\frac{8\pi}{9}$$;
в) $$\operatorname{tg}\left(-\frac{7\pi}{8}\right)$$ и $$\operatorname{tg}\left(-\frac{8\pi}{9}\right)$$;
г) $$\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{5}\right)$$ и $$\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{7}\right)$$;
д) $$\operatorname{ctg}2$$ и $$\operatorname{ctg}3$$;
е) $$\operatorname{tg}1$$ и $$\operatorname{tg}1{,}5$$.
Функция $$y=\tg x$$ возрастает на промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$$. Так как
$$\frac{\pi}{7}<\frac{\pi}{5},$$
то
$$\tg\frac{\pi}{5}>\tg\frac{\pi}{7}.$$
Функция $$y=\ctg x$$ убывает на промежутке $$\left(0,\pi\right)$$. Так как
$$\frac{7\pi}{8}<\frac{8\pi}{9},$$
то
$$\ctg\frac{7\pi}{8}>\ctg\frac{8\pi}{9}.$$
Функция $$y=\tg x$$ возрастает на промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$$. Так как
$$-\frac{7\pi}{8}>-\frac{8\pi}{9},$$
то
$$\tg\left(-\frac{7\pi}{8}\right)>\tg\left(-\frac{8\pi}{9}\right).$$
Так как
$$-\frac{\pi}{5}<-\frac{\pi}{7},$$
а функция $$y=\tg x$$ возрастает на $$\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right),$$ то
$$\tg\left(-\frac{\pi}{5}\right)<\tg\left(-\frac{\pi}{7}\right).$$
Функция $$y=\ctg x$$ убывает на промежутке $$\left(0,\pi\right)$$. Так как
$$2<3,$$
то
$$\ctg 2>\ctg 3.$$
Функция $$y=\tg x$$ возрастает на промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$$. Так как
$$1<1{,}5,$$
то
$$\tg 1<\tg 1{,}5.$$
Ответ
1) $$\tg\frac{\pi}{5}>\tg\frac{\pi}{7}$$; 2) $$\ctg\frac{7\pi}{8}>\ctg\frac{8\pi}{9}$$; 3) $$\tg\left(-\frac{7\pi}{8}\right)>\tg\left(-\frac{8\pi}{9}\right)$$; 4) $$\tg\left(-\frac{\pi}{5}\right)<\tg\left(-\frac{\pi}{7}\right)$$; 5) $$\ctg 2>\ctg 3$$; 6) $$\tg 1<\tg 1{,}5$$.
