Упр.789 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$\frac{1-2\sin 2a}{1+\sin 2a}=\frac{1-\tan a}{1+\tan a}$$
2. $$\frac{1}{4\sin 2a\cos 2a}=\frac{1+(1-\tan^2 a)^2}{4\tan^2 a}$$
3. $$\tan\left(\frac{\pi}{4}+a\right)=\frac{1+\sin 2a}{\cos 2a}$$
4. $$\frac{1-\sin 2a}{1+\sin 2a}=\cot^2\left(\frac{\pi}{4}+a\right)$$

1. $$\frac{1-2\sin^2 a}{1+\sin 2a}=\frac{1-\tg a}{1+\tg a}.$$

   Преобразуем левую часть:
   $$\frac{1-2\sin^2 a}{1+\sin 2a}=\frac{\cos^2 a+\sin^2 a-2\sin^2 a}{\cos^2 a+\sin^2 a+2\sin a\cos a}=\frac{\cos^2 a-\sin^2 a}{(\cos a+\sin a)^2}.$$
   Тогда
   $$\frac{\cos^2 a-\sin^2 a}{(\cos a+\sin a)^2}=\frac{(\cos a-\sin a)(\cos a+\sin a)}{(\cos a+\sin a)^2}=\frac{\cos a-\sin a}{\cos a+\sin a}.$$
   Делим числитель и знаменатель на $$\cos a$$:
   $$\frac{\cos a-\sin a}{\cos a+\sin a}=\frac{1-\tg a}{1+\tg a}.$$

2. $$\frac{1}{4\sin^2 a\cos^2 a}=1+\frac{(1-\tg^2 a)^2}{4\tg^2 a}.$$

   Левая часть:
   $$\frac{1}{4\sin^2 a\cos^2 a}=\frac{1}{\sin^2 2a}=\ctg^2 2a+1.$$
   Правая часть:
   $$1+\frac{(1-\tg^2 a)^2}{4\tg^2 a}=1+\left(\frac{1-\tg^2 a}{2\tg a}\right)^2=1+\left(\frac{1}{\tg 2a}\right)^2=1+\ctg^2 2a.$$
   Следовательно, тождество верно.

3. $$\tg\left(\frac{\pi}{4}+a\right)=\frac{1+\sin 2a}{\cos 2a}.$$

   Преобразуем левую часть:
   $$\tg\left(\frac{\pi}{4}+a\right)=\frac{\sin\left(\frac{\pi}{4}+a\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{4}+a\right)}$$
   $$=\frac{\frac{\sqrt2}{2}\cos a+\frac{\sqrt2}{2}\sin a}{\frac{\sqrt2}{2}\cos a-\frac{\sqrt2}{2}\sin a} =\frac{\cos a+\sin a}{\cos a-\sin a}.$$
   Умножим числитель и знаменатель на $$\cos a+\sin a$$:
   $$\frac{\cos a+\sin a}{\cos a-\sin a} =\frac{(\cos a+\sin a)^2}{\cos^2 a-\sin^2 a} =\frac{1+\sin 2a}{\cos 2a}.$$

4. $$\frac{1-\sin 2a}{1+\sin 2a}=\ctg^2\left(\frac{\pi}{4}+a\right).$$

   Преобразуем правую часть:
   $$\ctg^2\left(\frac{\pi}{4}+a\right)=\frac{\cos^2\left(\frac{\pi}{4}+a\right)}{\sin^2\left(\frac{\pi}{4}+a\right)}$$
   $$=\frac{\left(\frac{\sqrt2}{2}\cos a-\frac{\sqrt2}{2}\sin a\right)^2}{\left(\frac{\sqrt2}{2}\cos a+\frac{\sqrt2}{2}\sin a\right)^2} =\frac{(\cos a-\sin a)^2}{(\cos a+\sin a)^2}.$$
   Тогда
   $$\frac{(\cos a-\sin a)^2}{(\cos a+\sin a)^2} =\frac{\cos^2 a+\sin^2 a-2\sin a\cos a}{\cos^2 a+\sin^2 a+2\sin a\cos a} =\frac{1-\sin 2a}{1+\sin 2a}.$$

Ответ

Все четыре тождества верны.