Упр.788 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 788 1+cosa + cos2a = 4cosacos(пи/6 + a/2) cos(пи/6 — a/2).

Подробный ответ

Преобразуем правую часть:

$$ 4\cos a\cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{a}{2}\right)\cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}-\frac{a}{2}\right) $$

Используем формулу произведения косинусов:
$$ \cos x\cos y=\frac12\bigl(\cos(x+y)+\cos(x-y)\bigr). $$
Тогда
$$ 4\cos a\cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{a}{2}\right)\cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}-\frac{a}{2}\right) $$
$$ =4\cos a\cdot \frac12\left(\cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{a}{2}+\frac{\pi}{6}-\frac{a}{2}\right)+\cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{a}{2}-\frac{\pi}{6}+\frac{a}{2}\right)\right) $$
$$ =2\cos a\left(\cos\frac{\pi}{3}+\cos a\right) =2\cos a\left(\frac12+\cos a\right). $$

Раскрываем скобки:
$$ 2\cos a\left(\frac12+\cos a\right)=\cos a+2\cos^2 a. $$

Так как
$$ \cos 2a=2\cos^2 a-1, $$
то
$$ \cos a+2\cos^2 a=1+\cos a+\cos 2a. $$

Следовательно, тождество верно.