Упр.788 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Преобразуем правую часть:

$$4\cos a\cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{a}{2}\right)\cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}-\frac{a}{2}\right)$$

Используем формулу произведения косинусов:
$$\cos x\cos y=\frac12\bigl(\cos(x+y)+\cos(x-y)\bigr).$$
Тогда
$$4\cos a\cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{a}{2}\right)\cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}-\frac{a}{2}\right)$$
$$=4\cos a\cdot \frac12\left(\cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{a}{2}+\frac{\pi}{6}-\frac{a}{2}\right)+\cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{a}{2}-\frac{\pi}{6}+\frac{a}{2}\right)\right)$$
$$=2\cos a\left(\cos\frac{\pi}{3}+\cos a\right) =2\cos a\left(\frac12+\cos a\right).$$

Раскрываем скобки:
$$2\cos a\left(\frac12+\cos a\right)=\cos a+2\cos^2 a.$$

Так как
$$\cos 2a=2\cos^2 a-1,$$
то
$$\cos a+2\cos^2 a=1+\cos a+\cos 2a.$$

Следовательно, тождество верно.

Ответ

$$1+\cos a+\cos 2a=4\cos a\cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{a}{2}\right)\cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}-\frac{a}{2}\right).$$