Упр.785 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1) Преобразуем правую часть:

$$2\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{a}{2}\right)=2\cos^2\left(\frac{\frac{\pi}{2}-a}{2}\right).$$

По формуле $$\cos^2\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2}$$ получаем:

$$2\cos^2\left(\frac{\frac{\pi}{2}-a}{2}\right)=2\cdot \frac{1+\cos\left(\frac{\pi}{2}-a\right)}{2}=1+\sin a.$$

Тождество доказано.

2) Преобразуем правую часть:

$$2\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{a}{2}\right)=2\sin^2\left(\frac{\frac{\pi}{2}-a}{2}\right).$$

По формуле $$\sin^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2}$$ имеем:

$$2\sin^2\left(\frac{\frac{\pi}{2}-a}{2}\right)=2\cdot \frac{1-\cos\left(\frac{\pi}{2}-a\right)}{2}=1-\sin a.$$

Тождество доказано.

Ответ

$$1+\sin a=2\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{a}{2}\right),\qquad 1-\sin a=2\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{a}{2}\right).$$