Упр.784 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

784 tg(a- бета) + tg бета/ tg(a+ бета) — tg бета = cos (a+ бета)/ cos (a- бета).

Подробный ответ

Преобразуем левую часть:

$$ \frac{\tg(\alpha-\beta)+\tg\beta}{\tg(\alpha+\beta)-\tg\beta} = \frac{\frac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\cdot\tg\beta}+\tg\beta} {\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\cdot\tg\beta}-\tg\beta} $$

Приведём числитель и знаменатель к общему знаменателю:
$$ \frac{\frac{\tg\alpha-\tg\beta+\tg\beta+\tg\alpha\cdot\tg^2\beta}{1+\tg\alpha\cdot\tg\beta}} {\frac{\tg\alpha+\tg\beta-\tg\beta+\tg\alpha\cdot\tg^2\beta}{1-\tg\alpha\cdot\tg\beta}} = \frac{\frac{\tg\alpha+\tg\alpha\cdot\tg^2\beta}{1+\tg\alpha\cdot\tg\beta}} {\frac{\tg\alpha+\tg\alpha\cdot\tg^2\beta}{1-\tg\alpha\cdot\tg\beta}} $$

Сократим общий множитель:
$$ \frac{1-\tg\alpha\cdot\tg\beta}{1+\tg\alpha\cdot\tg\beta} $$

Переходим к синусам и косинусам:
$$ \frac{1-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\frac{\sin\beta}{\cos\beta}} {1+\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\frac{\sin\beta}{\cos\beta}} = \frac{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta} {\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta} $$

По формулам сложения и вычитания:
$$ \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta, $$
$$ \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta. $$

Значит,
$$ \frac{\tg(\alpha-\beta)+\tg\beta}{\tg(\alpha+\beta)-\tg\beta} = \frac{\cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha-\beta)}. $$