Упр.784 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
- Доказать тождество:
$$\frac{\tg(\alpha-\beta)+\tg\beta}{\tg(\alpha+\beta)-\tg\beta}=\frac{\cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha-\beta)}.$$
Преобразуем левую часть:
$$\frac{\tg(\alpha-\beta)+\tg\beta}{\tg(\alpha+\beta)-\tg\beta} = \frac{\frac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\cdot\tg\beta}+\tg\beta} {\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\cdot\tg\beta}-\tg\beta}$$
Приведём числитель и знаменатель к общему знаменателю:
$$\frac{\frac{\tg\alpha-\tg\beta+\tg\beta+\tg\alpha\cdot\tg^2\beta}{1+\tg\alpha\cdot\tg\beta}} {\frac{\tg\alpha+\tg\beta-\tg\beta+\tg\alpha\cdot\tg^2\beta}{1-\tg\alpha\cdot\tg\beta}} = \frac{\frac{\tg\alpha+\tg\alpha\cdot\tg^2\beta}{1+\tg\alpha\cdot\tg\beta}} {\frac{\tg\alpha+\tg\alpha\cdot\tg^2\beta}{1-\tg\alpha\cdot\tg\beta}}$$
Сократим общий множитель:
$$\frac{1-\tg\alpha\cdot\tg\beta}{1+\tg\alpha\cdot\tg\beta}$$
Переходим к синусам и косинусам:
$$\frac{1-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\frac{\sin\beta}{\cos\beta}} {1+\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\frac{\sin\beta}{\cos\beta}} = \frac{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta} {\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta}$$
По формулам сложения и вычитания:
$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta,$$
$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta.$$
Значит,
$$\frac{\tg(\alpha-\beta)+\tg\beta}{\tg(\alpha+\beta)-\tg\beta} = \frac{\cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha-\beta)}.$$
Ответ
$$\frac{\tg(\alpha-\beta)+\tg\beta}{\tg(\alpha+\beta)-\tg\beta} = \frac{\cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha-\beta)}$$
