Упр.783 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

2-3sin2a/cos2a = sina + 2cosa/sina+cosa
и найти его числовое значение при а = — пи/8.

Преобразуем выражение:

$$ \frac{2-3\sin^2 a}{\cos 2a}-\frac{\sin a+2\cos a}{\sin a+\cos a} $$

Приведём дроби к общему знаменателю:

$$ \frac{2-3\sin^2 a}{\cos 2a} = \frac{2(\cos^2 a+\sin^2 a)-3\sin^2 a}{\cos^2 a-\sin^2 a} = \frac{2\cos^2 a-\sin^2 a}{\cos^2 a-\sin^2 a} $$

$$ \frac{\sin a+2\cos a}{\sin a+\cos a} = \frac{(\sin a+2\cos a)(\cos a-\sin a)}{(\sin a+\cos a)(\cos a-\sin a)} $$

Тогда

$$ \frac{2\cos^2 a-\sin^2 a}{\cos^2 a-\sin^2 a} — \frac{(\sin a+2\cos a)(\cos a-\sin a)}{(\sin a+\cos a)(\cos a-\sin a)} = \frac{\sin a\cos a}{\cos 2a} $$

Используем формулу $$\sin 2a=2\sin a\cos a$$:

$$ \frac{\sin a\cos a}{\cos 2a} = \frac{1}{2}\cdot\frac{\sin 2a}{\cos 2a} = \frac{1}{2}\tg 2a $$

Подставим $$a=-\frac{\pi}{8}$$:

$$ \frac{1}{2}\tg 2a = \frac{1}{2}\tg\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}\cdot(-1) = -\frac{1}{2} $$

Ответ

$$-\frac{1}{2}$$