Упр.783 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Упростить выражение $$2-\frac{3\sin^2 a}{\cos^2 a}=\sin a+\frac{2\cos a}{\sin a}+\cos a$$ и найти его числовое значение при $$a=-\frac{\pi}{8}$$.

Преобразуем выражение:

$$\frac{2-3\sin^2 a}{\cos 2a}-\frac{\sin a+2\cos a}{\sin a+\cos a}$$

Приведём дроби к общему знаменателю:

$$\frac{2-3\sin^2 a}{\cos 2a} = \frac{2(\cos^2 a+\sin^2 a)-3\sin^2 a}{\cos^2 a-\sin^2 a} = \frac{2\cos^2 a-\sin^2 a}{\cos^2 a-\sin^2 a}$$

$$\frac{\sin a+2\cos a}{\sin a+\cos a} = \frac{(\sin a+2\cos a)(\cos a-\sin a)}{(\sin a+\cos a)(\cos a-\sin a)}$$

Тогда

$$\frac{2\cos^2 a-\sin^2 a}{\cos^2 a-\sin^2 a} — \frac{(\sin a+2\cos a)(\cos a-\sin a)}{(\sin a+\cos a)(\cos a-\sin a)} = \frac{\sin a\cos a}{\cos 2a}$$

Используем формулу $$\sin 2a=2\sin a\cos a$$:

$$\frac{\sin a\cos a}{\cos 2a} = \frac{1}{2}\cdot\frac{\sin 2a}{\cos 2a} = \frac{1}{2}\tg 2a$$

Подставим $$a=-\frac{\pi}{8}$$:

$$\frac{1}{2}\tg 2a = \frac{1}{2}\tg\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}\cdot(-1) = -\frac{1}{2}$$

Ответ

$$-\frac{1}{2}$$