Упр.780 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

2) tg2 2atg2a — 1/tg2a — tg2 2a.

1. $$\frac{4\sin^2 a-\sin^2 2a}{4-4\sin^2 a-\sin^2 2a}$$
   Так как $$\sin 2a=2\sin a\cos a,$$ то
   $$\sin^2 2a=4\sin^2 a\cos^2 a.$$
   Тогда
   $$ \frac{4\sin^2 a-4\sin^2 a\cos^2 a}{4-4\sin^2 a-4\sin^2 a\cos^2 a} = \frac{4\sin^2 a(1-\cos^2 a)}{4(1-\sin^2 a)-4\sin^2 a\cos^2 a}. $$
   Используя $$1-\cos^2 a=\sin^2 a$$ и $$1-\sin^2 a=\cos^2 a,$$ получаем
   $$ \frac{4\sin^4 a}{4\cos^4 a}=\frac{\sin^4 a}{\cos^4 a}=\tg^4 a. $$

2. $$\frac{\tg^2 2a\cdot \tg^2 a-1}{\tg^2 a-\tg^2 2a}$$
   Используем формулу
   $$\tg 2a=\frac{2\tg a}{1-\tg^2 a},$$
   тогда
   $$ \tg^2 2a=\frac{4\tg^2 a}{(1-\tg^2 a)^2}. $$
   Подставим:
   $$ \frac{\frac{4\tg^4 a}{(1-\tg^2 a)^2}-1}{\tg^2 a-\frac{4\tg^2 a}{(1-\tg^2 a)^2}} = \frac{4\tg^4 a-(1-\tg^2 a)^2}{\tg^2 a(1-\tg^2 a)^2-4\tg^2 a}. $$
   Раскроем скобки:
   $$ 4\tg^4 a-(1-2\tg^2 a+\tg^4 a)=3\tg^4 a+2\tg^2 a-1, $$
   $$ \tg^2 a(1-2\tg^2 a+\tg^4 a)-4\tg^2 a=\tg^2 a(\tg^4 a-2\tg^2 a-3). $$
   Разложим на множители:
   $$ 3\tg^4 a+2\tg^2 a-1=(3\tg^2 a-1)(\tg^2 a+1), $$
   $$ \tg^4 a-2\tg^2 a-3=(\tg^2 a-3)(\tg^2 a+1). $$
   Сокращая на $$\tg^2 a+1,$$ получаем
   $$ \frac{3\tg^2 a-1}{\tg^2 a(\tg^2 a-3)}. $$
   Теперь
   $$ \frac{3\tg^2 a-1}{\tg^2 a(\tg^2 a-3)} = \frac{1-3\tg^2 a}{\tg^2 a(3-\tg^2 a)} = \frac{1}{\tg a}\cdot \frac{1-3\tg^2 a}{3\tg a-\tg^3 a}. $$
   По формуле тройного угла
   $$ \tg 3a=\frac{3\tg a-\tg^3 a}{1-3\tg^2 a}, $$
   значит
   $$ \frac{1-3\tg^2 a}{3\tg a-\tg^3 a}=\ctg 3a. $$
   Следовательно,
   $$ \frac{\tg^2 2a\cdot \tg^2 a-1}{\tg^2 a-\tg^2 2a}=\ctg a\cdot \ctg 3a. $$

Ответ

1) $$\tg^4 a$$; 2) $$\ctg a\cdot \ctg 3a$$.