Упр.780 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$\frac{4\sin^2 a-\sin^2 2a}{4-4\sin^2 a-\sin^2 2a}$$
2. $$\frac{\operatorname{tg}^2 2a\operatorname{tg}^2 a-1}{\operatorname{tg}^2 a-\operatorname{tg}^2 2a}$$

1. $$\frac{4\sin^2 a-\sin^2 2a}{4-4\sin^2 a-\sin^2 2a}$$
   Так как $$\sin 2a=2\sin a\cos a,$$ то
   $$\sin^2 2a=4\sin^2 a\cos^2 a.$$
   Тогда
   $$\frac{4\sin^2 a-4\sin^2 a\cos^2 a}{4-4\sin^2 a-4\sin^2 a\cos^2 a} = \frac{4\sin^2 a(1-\cos^2 a)}{4(1-\sin^2 a)-4\sin^2 a\cos^2 a}.$$
   Используя $$1-\cos^2 a=\sin^2 a$$ и $$1-\sin^2 a=\cos^2 a,$$ получаем
   $$\frac{4\sin^4 a}{4\cos^4 a}=\frac{\sin^4 a}{\cos^4 a}=\tg^4 a.$$

2. $$\frac{\tg^2 2a\cdot \tg^2 a-1}{\tg^2 a-\tg^2 2a}$$
   Используем формулу
   $$\tg 2a=\frac{2\tg a}{1-\tg^2 a},$$
   тогда
   $$\tg^2 2a=\frac{4\tg^2 a}{(1-\tg^2 a)^2}.$$
   Подставим:
   $$\frac{\frac{4\tg^4 a}{(1-\tg^2 a)^2}-1}{\tg^2 a-\frac{4\tg^2 a}{(1-\tg^2 a)^2}} = \frac{4\tg^4 a-(1-\tg^2 a)^2}{\tg^2 a(1-\tg^2 a)^2-4\tg^2 a}.$$
   Раскроем скобки:
   $$4\tg^4 a-(1-2\tg^2 a+\tg^4 a)=3\tg^4 a+2\tg^2 a-1,$$
   $$\tg^2 a(1-2\tg^2 a+\tg^4 a)-4\tg^2 a=\tg^2 a(\tg^4 a-2\tg^2 a-3).$$
   Разложим на множители:
   $$3\tg^4 a+2\tg^2 a-1=(3\tg^2 a-1)(\tg^2 a+1),$$
   $$\tg^4 a-2\tg^2 a-3=(\tg^2 a-3)(\tg^2 a+1).$$
   Сокращая на $$\tg^2 a+1,$$ получаем
   $$\frac{3\tg^2 a-1}{\tg^2 a(\tg^2 a-3)}.$$
   Теперь
   $$\frac{3\tg^2 a-1}{\tg^2 a(\tg^2 a-3)} = \frac{1-3\tg^2 a}{\tg^2 a(3-\tg^2 a)} = \frac{1}{\tg a}\cdot \frac{1-3\tg^2 a}{3\tg a-\tg^3 a}.$$
   По формуле тройного угла
   $$\tg 3a=\frac{3\tg a-\tg^3 a}{1-3\tg^2 a},$$
   значит
   $$\frac{1-3\tg^2 a}{3\tg a-\tg^3 a}=\ctg 3a.$$
   Следовательно,
   $$\frac{\tg^2 2a\cdot \tg^2 a-1}{\tg^2 a-\tg^2 2a}=\ctg a\cdot \ctg 3a.$$

Ответ

1) $$\tg^4 a$$; 2) $$\ctg a\cdot \ctg 3a$$.