Упр.779 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$\frac{\cos 4a-\cos 2a}{\sin 3a\sin a}$$
2. $$\frac{1+\cos a+\cos 2a+\cos 3a}{\cos a+2\cos 2a-1}$$

1. $$\frac{\cos 4a-\cos 2a}{\sin 3a\cdot \sin a}$$
   Используем формулу разности косинусов:
   $$\cos x-\cos y=-2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}.$$
   Тогда
   $$\cos 4a-\cos 2a=-2\sin\frac{4a+2a}{2}\sin\frac{4a-2a}{2}=-2\sin 3a\cdot \sin a.$$
   Подставим:
   $$\frac{\cos 4a-\cos 2a}{\sin 3a\cdot \sin a}=\frac{-2\sin 3a\cdot \sin a}{\sin 3a\cdot \sin a}=-2.$$

2. $$\frac{1+\cos a+\cos 2a+\cos 3a}{\cos a+2\cos^2 a-1}$$
   Преобразуем числитель и знаменатель:
   $$1+\cos 2a=2\cos^2 a,$$
   $$\cos a+\cos 3a=2\cos\frac{a+3a}{2}\cos\frac{a-3a}{2}=2\cos 2a\cdot \cos a.$$
   Тогда
   $$1+\cos a+\cos 2a+\cos 3a=(1+\cos 2a)+(\cos a+\cos 3a)=2\cos^2 a+2\cos 2a\cdot \cos a.$$
   В знаменателе:
   $$\cos a+2\cos^2 a-1=\cos a+\cos 2a.$$
   Получаем
   $$\frac{2\cos^2 a+2\cos 2a\cdot \cos a}{\cos a+\cos 2a} =\frac{2\cos a(\cos a+\cos 2a)}{\cos a+\cos 2a}=2\cos a.$$

Ответ

1) $$-2$$
2) $$2\cos a$$