Упр.776 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

776 5cosx-2sinx/sin(пи/2 — x)+ sin(-x) — sin2x — 8sin2x/cos2x.

Подробный ответ

$$ \frac{5\cos x-3\sin x}{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+\sin(-x)}-\frac{\sin 2x-8\sin^2 x}{\cos 2x} $$

Используем тождества:
$$ \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x,\qquad \sin(-x)=-\sin x,\qquad \cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x. $$
Тогда
$$ \frac{5\cos x-3\sin x}{\cos x-\sin x}-\frac{\sin 2x-8\sin^2 x}{\cos^2 x-\sin^2 x}. $$

Преобразуем вторую дробь:
$$ \sin 2x=2\sin x\cos x, $$
поэтому
$$ \sin 2x-8\sin^2 x=2\sin x\cos x-8\sin^2 x. $$
Приведём выражение к общему знаменателю:
$$ \frac{5\cos x-3\sin x}{\cos x-\sin x}-\frac{\sin 2x-8\sin^2 x}{(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)}. $$

После преобразований числителя получаем:
$$ \frac{(5\cos x-3\sin x)(\cos x+\sin x)-\sin 2x+8\sin^2 x}{(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)}. $$
Раскроем скобки:
$$ 5\cos^2 x+5\sin x\cos x-3\sin x\cos x-3\sin^2 x-\sin 2x+8\sin^2 x. $$
Так как $$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$ то
$$ 5\cos^2 x+2\sin x\cos x+5\sin^2 x-2\sin x\cos x=5(\cos^2 x+\sin^2 x)=5. $$
Знаменатель:
$$ (\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)=\cos^2 x-\sin^2 x=\cos 2x. $$

Следовательно,
$$ \frac{5}{\cos 2x}. $$