Упр.776 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

Упростить выражение: $$5\cos x-\frac{2\sin x}{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}+\sin(-x)-\sin 2x-\frac{8\sin 2x}{\cos 2x}.$$

Подробный ответ

$$\frac{5\cos x-3\sin x}{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+\sin(-x)}-\frac{\sin 2x-8\sin^2 x}{\cos 2x}$$

Используем тождества:
$$\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x,\qquad \sin(-x)=-\sin x,\qquad \cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x.$$
Тогда
$$\frac{5\cos x-3\sin x}{\cos x-\sin x}-\frac{\sin 2x-8\sin^2 x}{\cos^2 x-\sin^2 x}.$$

Преобразуем вторую дробь:
$$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$
поэтому
$$\sin 2x-8\sin^2 x=2\sin x\cos x-8\sin^2 x.$$
Приведём выражение к общему знаменателю:
$$\frac{5\cos x-3\sin x}{\cos x-\sin x}-\frac{\sin 2x-8\sin^2 x}{(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)}.$$

После преобразований числителя получаем:
$$\frac{(5\cos x-3\sin x)(\cos x+\sin x)-\sin 2x+8\sin^2 x}{(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)}.$$
Раскроем скобки:
$$5\cos^2 x+5\sin x\cos x-3\sin x\cos x-3\sin^2 x-\sin 2x+8\sin^2 x.$$
Так как $$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$ то
$$5\cos^2 x+2\sin x\cos x+5\sin^2 x-2\sin x\cos x=5(\cos^2 x+\sin^2 x)=5.$$
Знаменатель:
$$(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)=\cos^2 x-\sin^2 x=\cos 2x.$$

Следовательно,
$$\frac{5}{\cos 2x}.$$