Упр.775 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Доказать тождество:

1. $$\frac{1-\cos(2\pi-2a)}{1-\cos^2(a+\pi)}=2$$;
2. $$\frac{\sin(a+90^\circ)}{1+\sin(-a)}=1+\cos(a-90^\circ)$$.

1. $$\frac{1-\cos(2\pi-2a)}{1-\cos^2(a+\pi)}$$
   Используем формулы:
   $$\cos(2\pi-2a)=\cos 2a,$$
   $$\cos(a+\pi)=-\cos a.$$
   Тогда
   $$\frac{1-\cos 2a}{1-\cos^2 a}.$$
   Далее
   $$1-\cos 2a=2\sin^2 a,\qquad 1-\cos^2 a=\sin^2 a.$$
   Получаем
   $$\frac{2\sin^2 a}{\sin^2 a}=2.$$

2. $$\frac{\sin^2(a+90^\circ)}{1+\sin(-a)}$$
   Так как
   $$\sin(a+90^\circ)=\cos a,\qquad \sin(-a)=-\sin a,$$
   то
   $$\frac{\cos^2 a}{1-\sin a}.$$
   Заменим $$\cos^2 a$$ по формуле:
   $$\cos^2 a=1-\sin^2 a.$$
   Тогда
   $$\frac{1-\sin^2 a}{1-\sin a}=\frac{(1-\sin a)(1+\sin a)}{1-\sin a}=1+\sin a.$$
   С другой стороны,
   $$1+\cos(a-90^\circ)=1+\sin a.$$
   Следовательно, тождество верно.

Ответ

1) $$2$$;
2) тождество верно.