Упр.772 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$\frac{\operatorname{tg}^2 a}{1+\operatorname{ctg}^2 a}$$
2. $$\frac{1+\operatorname{ctg}^2 a}{\operatorname{ctg} a}$$
3. $$\frac{\operatorname{tg} a-\operatorname{tg} b}{x\operatorname{tg} a+\operatorname{ctg} b}$$
4. $$(\operatorname{tg} a+\operatorname{ctg} a)^2-(\operatorname{tg} a-\operatorname{ctg} a)^2$$

1. $$\frac{\tg^2 a}{1+\ctg^2 a}=\frac{\tg^2 a}{1+\frac{1}{\tg^2 a}}=\frac{\tg^2 a}{\frac{\tg^2 a+1}{\tg^2 a}}=\frac{\tg^4 a}{\tg^2 a+1}.$$
   Так как $$\tg^2 a+1=\frac{1}{\cos^2 a},$$ то
   $$\frac{\tg^4 a}{\tg^2 a+1}=\tg^4 a\cdot \cos^2 a=\frac{\sin^4 a}{\cos^4 a}\cdot \cos^2 a=\frac{\sin^4 a}{\cos^2 a}=\tg^2 a\cdot \sin^2 a.$$
2. $$\frac{1+\ctg^2 a}{\ctg^2 a}=\frac{1+\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}}{\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}}=\frac{\frac{\sin^2 a+\cos^2 a}{\sin^2 a}}{\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}}=\frac{1}{\cos^2 a}.$$
3. $$\frac{\tg a-\tg b}{\ctg a+\ctg b}=\frac{\frac{\sin a}{\cos a}-\frac{\sin b}{\cos b}}{\frac{\cos a}{\sin a}+\frac{\cos b}{\sin b}}.$$
   Приведём к общим знаменателям:
   $$\frac{\tg a-\tg b}{\ctg a+\ctg b} = \frac{\sin a\cos b-\sin b\cos a}{\cos a\cos b} \cdot \frac{\sin a\sin b}{\sin a\cos b+\sin b\cos a}.$$
   Используем формулы:
   $$\sin a\cos b-\sin b\cos a=\sin(a-b),$$
   $$\sin a\cos b+\sin b\cos a=\sin(a+b).$$
   Тогда
   $$\frac{\tg a-\tg b}{\ctg a+\ctg b} = \frac{\sin(a-b)\sin a\sin b}{\sin(a+b)\cos a\cos b} = \tg a\cdot \tg b\cdot \frac{\sin(a-b)}{\sin(a+b)}.$$
4. $$(\tg a+\ctg a)^2-(\tg a-\ctg a)^2$$
   $$=\bigl(\tg^2 a+2\tg a\ctg a+\ctg^2 a\bigr)-\bigl(\tg^2 a-2\tg a\ctg a+\ctg^2 a\bigr)$$
   $$=4\tg a\ctg a=4.$$

Ответ

1) $$\tg^2 a\sin^2 a$$;
2) $$\frac{1}{\cos^2 a}$$;
3) $$\tg a\cdot \tg b\cdot \frac{\sin(a-b)}{\sin(a+b)}$$;
4) $$4$$.