Упр.768 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Известно, что $$\operatorname{tg}\alpha=2$$. Найдите значение выражения:

1. $$\sin^2\alpha+\frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha}+3\cos\alpha\sin\alpha$$;

   $$\frac{2-\sin^2\alpha}{3+\cos^2\alpha}$$.

Пусть $$\tg a=2.$$ Тогда

$$\sin^2 a=\tg^2 a\cdot \cos^2 a,\qquad \sin a\cos a=\tg a\cdot \cos^2 a.$$

1. $$\frac{\sin^2 a+\sin a\cos a}{\cos^2 a+3\cos a\sin a}= \frac{\cos^2 a(\tg^2 a+\tg a)}{\cos^2 a(1+3\tg a)}= \frac{\tg^2 a+\tg a}{1+3\tg a}.$$

   Подставим $$\tg a=2$$:
   $$\frac{2^2+2}{1+3\cdot 2}=\frac{4+2}{7}=\frac67.$$

2. $$\frac{2-\sin^2 a}{3+\cos^2 a}= \frac{2-\tg^2 a\cos^2 a}{3+\cos^2 a}.$$

   Выразим через $$\tg a$$, разделив числитель и знаменатель на $$\cos^2 a$$:
   $$\frac{\frac{2}{\cos^2 a}-\tg^2 a}{\frac{3}{\cos^2 a}+1}= \frac{2(1+\tg^2 a)-\tg^2 a}{3(1+\tg^2 a)+1}= \frac{2+\tg^2 a}{4+3\tg^2 a}.$$

   Подставим $$\tg a=2$$:
   $$\frac{2+2^2}{4+3\cdot 2^2}=\frac{2+4}{4+12}=\frac6{16}=\frac38.$$

Ответ

1) $$\frac67$$; 2) $$\frac38$$.