Упр.767 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
- Доказать, что если $$a+\beta+y=\pi$$, то:
1) $$\sin a+\sin\beta-\sin y=4\sin\frac{a}{2}\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{y}{2}$$;
2) $$\sin 2a+\sin 2\beta+\sin 2y=4\sin a\sin\beta\sin y$$.
1) Так как $$\alpha+\beta+\gamma=\pi,$$ то $$\gamma=\pi-(\alpha+\beta).$$
Преобразуем правую часть:
$$4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2} =4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\pi-(\alpha+\beta)}{2}$$
$$=4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\alpha+\beta}{2}$$
$$=4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\left(\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}+\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\right)$$
$$=4\sin^2\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\beta}{2} +4\sin\frac{\alpha}{2}\sin^2\frac{\beta}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$$
$$=2\sin\beta\cdot\frac{1-\cos\alpha}{2}+2\sin\alpha\cdot\frac{1-\cos\beta}{2}$$
$$=\sin\beta(1-\cos\alpha)+\sin\alpha(1-\cos\beta)$$
$$=\sin\alpha+\sin\beta-\bigl(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\bigr)$$
$$=\sin\alpha+\sin\beta-\sin(\alpha+\beta) =\sin\alpha+\sin\beta-\sin\gamma.$$
Следовательно,
$$\sin\alpha+\sin\beta-\sin\gamma =4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}.$$
2) Из условия имеем:
$$\alpha+\beta=\pi-\gamma,\qquad \alpha+\gamma=\pi-\beta,\qquad \beta+\gamma=\pi-\alpha.$$
Преобразуем левую часть:
$$\sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma =2\sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)+\sin2\gamma$$
$$=2\sin(\pi-\gamma)\cos(\alpha-\beta)+2\sin\gamma\cos\gamma$$
$$=2\sin\gamma\bigl(\cos(\alpha-\beta)+\cos\gamma\bigr).$$
Так как $$\gamma=\pi-(\alpha+\beta),$$ то
$$\cos\gamma=-\cos(\alpha+\beta).$$
Тогда
$$\cos(\alpha-\beta)+\cos\gamma =\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta) =2\sin\alpha\sin\beta.$$
Значит,
$$\sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma =2\sin\gamma\cdot 2\sin\alpha\sin\beta =4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma.$$
Тождество доказано.
Ответ
$$\sin\alpha+\sin\beta-\sin\gamma=4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}, \qquad \sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma=4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma.$$
