Упр.767 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1) sina + sin бета — siny = 4sin a/2 sin бета/2 cos y/2;
2) sin2a + sin2 бета + sin2y = 4sinasin бета siny.

1) Так как $$\alpha+\beta+\gamma=\pi,$$ то $$\gamma=\pi-(\alpha+\beta).$$

Преобразуем правую часть:

$$ 4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2} =4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\pi-(\alpha+\beta)}{2} $$
$$ =4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\alpha+\beta}{2} $$
$$ =4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\left(\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}+\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\right) $$
$$ =4\sin^2\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\beta}{2} +4\sin\frac{\alpha}{2}\sin^2\frac{\beta}{2}\cos\frac{\alpha}{2} $$
$$ =2\sin\beta\cdot\frac{1-\cos\alpha}{2}+2\sin\alpha\cdot\frac{1-\cos\beta}{2} $$
$$ =\sin\beta(1-\cos\alpha)+\sin\alpha(1-\cos\beta) $$
$$ =\sin\alpha+\sin\beta-\bigl(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\bigr) $$
$$ =\sin\alpha+\sin\beta-\sin(\alpha+\beta) =\sin\alpha+\sin\beta-\sin\gamma. $$

Следовательно,

$$ \sin\alpha+\sin\beta-\sin\gamma =4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}. $$

2) Из условия имеем:

$$ \alpha+\beta=\pi-\gamma,\qquad \alpha+\gamma=\pi-\beta,\qquad \beta+\gamma=\pi-\alpha. $$

Преобразуем левую часть:

$$ \sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma =2\sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)+\sin2\gamma $$
$$ =2\sin(\pi-\gamma)\cos(\alpha-\beta)+2\sin\gamma\cos\gamma $$
$$ =2\sin\gamma\bigl(\cos(\alpha-\beta)+\cos\gamma\bigr). $$

Так как $$\gamma=\pi-(\alpha+\beta),$$ то

$$ \cos\gamma=-\cos(\alpha+\beta). $$

Тогда

$$ \cos(\alpha-\beta)+\cos\gamma =\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta) =2\sin\alpha\sin\beta. $$

Значит,

$$ \sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma =2\sin\gamma\cdot 2\sin\alpha\sin\beta =4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma. $$

Тождество доказано.

Ответ

$$ \sin\alpha+\sin\beta-\sin\gamma=4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}, \qquad \sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma=4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma. $$