Упр.766 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
Разложить на множители:
- $$1+\cos a+\sin a$$;
- $$1-\cos a-\sin a$$;
- $$3-4\sin^2 a$$;
- $$1-4\cos^2 a$$.
Используем формулы:
$$1+\cos a=2\cos^2\frac a2,\qquad 1-\cos a=2\sin^2\frac a2,$$
$$\sin a=2\sin\frac a2\cos\frac a2,\qquad \cos 2a=2\cos^2 a-1=1-2\sin^2 a,$$
$$\cos x-\cos y=-2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}.$$
$$1+\cos a+\sin a=(1+\cos a)+\sin a$$
$$=2\cos^2\frac a2+2\sin\frac a2\cos\frac a2$$
$$=2\cos\frac a2\left(\cos\frac a2+\sin\frac a2\right).$$
$$1-\cos a-\sin a=(1-\cos a)-\sin a$$
$$=2\sin^2\frac a2-2\sin\frac a2\cos\frac a2$$
$$=2\sin\frac a2\left(\sin\frac a2-\cos\frac a2\right).$$
$$3-4\sin^2 a=1+2(1-2\sin^2 a)=1+2\cos 2a$$
$$=2\left(\cos 2a+\frac12\right)=2\left(\cos 2a-\cos\frac{2\pi}{3}\right).$$
Тогда
$$2\left(\cos 2a-\cos\frac{2\pi}{3}\right)=-4\sin\left(a+\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(a-\frac{\pi}{3}\right).$$
$$1-4\cos^2 a=1-2(2\cos^2 a)=1-2(1+\cos 2a)$$
$$=-1-2\cos 2a=-2\left(\cos 2a+\frac12\right)$$
$$=-2\left(\cos 2a-\cos\frac{2\pi}{3}\right).$$
Следовательно,
$$-2\left(\cos 2a-\cos\frac{2\pi}{3}\right)=4\sin\left(a+\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(a-\frac{\pi}{3}\right).$$
Ответ
$$1+\cos a+\sin a=2\cos\frac a2\left(\cos\frac a2+\sin\frac a2\right);$$
$$1-\cos a-\sin a=2\sin\frac a2\left(\sin\frac a2-\cos\frac a2\right);$$
$$3-4\sin^2 a=-4\sin\left(a+\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(a-\frac{\pi}{3}\right);$$
$$1-4\cos^2 a=4\sin\left(a+\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(a-\frac{\pi}{3}\right).$$
