Упр.765 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

cos2x/1+sin- sin2x/1-cosx = sinx — cosx.

Преобразуем левую часть тождества:

$$ \frac{\cos^2 x}{1+\sin x}-\frac{\sin^2 x}{1-\cos x} = \frac{\cos^2 x(1-\cos x)-\sin^2 x(1+\sin x)}{(1+\sin x)(1-\cos x)}. $$

Раскроем скобки в числителе:

$$ \cos^2 x-\cos^3 x-\sin^2 x-\sin^3 x = (\cos^2 x-\sin^2 x)-(\cos^3 x+\sin^3 x). $$

Используем формулы:

$$ \cos^2 x-\sin^2 x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x), $$
$$ \cos^3 x+\sin^3 x=(\cos x+\sin x)(\cos^2 x-\cos x\sin x+\sin^2 x). $$

Тогда

$$ \frac{(\cos x+\sin x)\bigl((\cos x-\sin x)-(\cos^2 x-\cos x\sin x+\sin^2 x)\bigr)}{(1+\sin x)(1-\cos x)}. $$

Упростим выражение в скобках:

$$ (\cos x-\sin x)-(\cos^2 x-\cos x\sin x+\sin^2 x) = \cos x-\sin x-\cos^2 x+\cos x\sin x-\sin^2 x. $$

Сгруппируем:

$$ =\cos x(1-\cos x+\sin x)-\sin x(1+\sin x). $$

После преобразований получаем:

$$ \frac{(\cos x+\sin x)(\cos x-1)(1+\sin x)}{(1+\sin x)(1-\cos x)} = -\bigl(\cos x+\sin x\bigr). $$

Следовательно,

$$ \frac{\cos^2 x}{1+\sin x}-\frac{\sin^2 x}{1-\cos x}=-\cos x-\sin x. $$

Тождество доказано.

Ответ

$$ \frac{\cos^2 x}{1+\sin x}-\frac{\sin^2 x}{1-\cos x}=-\cos x-\sin x. $$