Упр.762 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 762. Доказать тождество 1-(sina + cosa)2/sinacosa-ctga = 2tg2a.

Преобразуем левую часть тождества:

$$ \frac{1-(\sin a+\cos a)^2}{\sin a\cos a-\ctg a} = \frac{1-(\sin^2 a+2\sin a\cos a+\cos^2 a)}{\sin a\cos a-\frac{\cos a}{\sin a}} $$

Так как $$\sin^2 a+\cos^2 a=1,$$ получаем:

$$ \frac{-2\sin a\cos a}{\sin a\cos a-\frac{\cos a}{\sin a}} = \frac{-2\sin a\cos a}{\frac{\sin^2 a\cos a-\cos a}{\sin a}} = \frac{-2\sin a\cos a\cdot \sin a}{\cos a(\sin^2 a-1)} $$

$$ = \frac{-2\sin^2 a}{\sin^2 a-1} = \frac{2\sin^2 a}{1-\sin^2 a} = \frac{2\sin^2 a}{\cos^2 a} = 2\tg^2 a. $$

Следовательно, тождество верно.

Ответ

$$ \frac{1-(\sin a+\cos a)^2}{\sin a\cos a-\ctg a}=2\tg^2 a $$