Упр.760 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Выразить $$\log_{\sqrt{3}} 8$$ через $$a$$, если $$\log_{12} 3=a$$.

Пусть $$a=\log_{12}3.$$ Тогда

$$\log_{\sqrt{3}}8=\log_{3^{1/2}}2^3=3\log_{3^{1/2}}2.$$

По формуле перехода к новому основанию:

$$\log_{3^{1/2}}2=\frac{\log_{12}2}{\log_{12}3}.$$

Так как $$12=3\cdot 4,$$ то

$$\log_{12}2=\frac12\log_{12}4=\frac12\bigl(\log_{12}12-\log_{12}3\bigr)=\frac12(1-a).$$

Тогда

$$\log_{\sqrt{3}}8=3\cdot \frac{\log_{12}2}{\log_{12}3} =3\cdot \frac{\frac12(1-a)}{a} =\frac{3(1-a)}{a}.$$

Ответ

$$\frac{3(1-a)}{a}$$