Упр.758 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 758 Доказать, что logc 2a+3b/5 = logca + logcb/2, если a > 0, b > 0, 13ab = 4a2 + 9b2, c > 0, c =/ 1. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 kolyagin11 758 118

Преобразуем левую часть:

$$\log_c \frac{2a+3b}{5}=\frac12\log_c \left(\frac{2a+3b}{5}\right)^2.$$

Раскроем квадрат:

$$\frac12\log_c \frac{4a^2+12ab+9b^2}{25}.$$

По условию $$13ab=4a^2+9b^2,$$ значит

$$4a^2+12ab+9b^2=13ab+12ab=25ab.$$

Тогда

$$\frac12\log_c \frac{25ab}{25}=\frac12\log_c ab.$$

Используем свойство логарифма:

$$\frac12\log_c ab=\frac12(\log_c a+\log_c b)=\frac{\log_c a+\log_c b}{2}.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$\log_c \frac{2a+3b}{5}=\frac{\log_c a+\log_c b}{2}.$$