Упр.758 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Доказать, что $$\log_c\frac{2a+3b}{5}=\frac{\log_c a+\log_c b}{2}$$, если $$a>0,\quad b>0,\quad 13ab=4a^2+9b^2,\quad c>0,\quad c\ne1.$$

Преобразуем левую часть:

$$\log_c \frac{2a+3b}{5}=\frac12\log_c \left(\frac{2a+3b}{5}\right)^2.$$

Раскроем квадрат:

$$\frac12\log_c \frac{4a^2+12ab+9b^2}{25}.$$

По условию $$13ab=4a^2+9b^2,$$ значит

$$4a^2+12ab+9b^2=13ab+12ab=25ab.$$

Тогда

$$\frac12\log_c \frac{25ab}{25}=\frac12\log_c ab.$$

Используем свойство логарифма:

$$\frac12\log_c ab=\frac12(\log_c a+\log_c b)=\frac{\log_c a+\log_c b}{2}.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$\log_c \frac{2a+3b}{5}=\frac{\log_c a+\log_c b}{2}.$$