Упр.757 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Доказать, что $$\log_c\frac{a+b}{3}=\frac{1}{2}\left(\log_c a+\log_c b\right)$$, если $$a>0$$, $$b>0$$, $$a^2+b^2=7ab$$, $$c>0$$, $$c\ne1$$.

Преобразуем левую часть:

$$\log_c \frac{a+b}{3}=\frac12 \log_c \left(\frac{a+b}{3}\right)^2=\frac12 \log_c \frac{a^2+2ab+b^2}{9}.$$

По условию $$a^2+b^2=7ab,$$ значит

$$\frac{a^2+2ab+b^2}{9}=\frac{7ab+2ab}{9}=\frac{9ab}{9}=ab.$$

Тогда

$$\log_c \frac{a+b}{3}=\frac12 \log_c ab=\frac12(\log_c a+\log_c b).$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$\log_c \frac{a+b}{3}=\frac12(\log_c a+\log_c b).$$