Упр.755 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 755 (9a-25a^-1/3a1/2 — 5a^-1/2 — a+7+10a^-1/a1/2 + 2a^-1/2)4.

Подробный ответ

Преобразуем выражение:

$$ \left(\frac{9a-25a^{-1}}{3a^{1/2}-5a^{-1/2}}-\frac{a+7+10a^{-1}}{a^{1/2}+2a^{-1/2}}\right)^4 $$

Вынесем удобные множители:

$$ 9a-25a^{-1}=a^{-1}(9a^2-25)=a^{-1}(3a-5)(3a+5), $$
$$ 3a^{1/2}-5a^{-1/2}=a^{-1/2}(3a-5), $$
$$ a+7+10a^{-1}=\frac{a^2+7a+10}{a}=\frac{(a+5)(a+2)}{a}, $$
$$ a^{1/2}+2a^{-1/2}=a^{-1/2}(a+2). $$

Тогда

$$ \frac{9a-25a^{-1}}{3a^{1/2}-5a^{-1/2}} = \frac{a^{-1}(3a-5)(3a+5)}{a^{-1/2}(3a-5)} = \frac{3a+5}{a^{1/2}}, $$
$$ \frac{a+7+10a^{-1}}{a^{1/2}+2a^{-1/2}} = \frac{(a+5)(a+2)/a}{a^{-1/2}(a+2)} = \frac{a+5}{a^{1/2}}. $$

Следовательно, выражение в скобках равно

$$ \frac{3a+5}{a^{1/2}}-\frac{a+5}{a^{1/2}} = \frac{2a}{a^{1/2}} = 2a^{1/2}. $$

Теперь возводим в четвёртую степень:

$$ (2a^{1/2})^4=16a^2. $$