Упр.754 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

2) корень a + корень b)-2 * (1/a + 1/b) + 2(2^-1/2 + b^-1/2)/(корень a + корень b)3.

Подробный ответ

1) Преобразуем выражение:

$$ \left(\frac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a^2+ab}}-\frac{\sqrt{ab+b^2}}{\sqrt{ab}+b}\right)^{-2} -\frac{\sqrt{a^3b}+\sqrt{ab^3}}{2ab} $$

$$ \sqrt{a^2+ab}=\sqrt{a(a+b)}=\sqrt a\sqrt{a+b}, \qquad \sqrt{ab+b^2}=\sqrt b\sqrt{a+b} $$

$$ \frac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a^2+ab}}-\frac{\sqrt{ab+b^2}}{\sqrt{ab}+b} = \frac{\sqrt a(\sqrt a+\sqrt b)}{\sqrt a\sqrt{a+b}} -\frac{\sqrt b(\sqrt a+\sqrt b)}{\sqrt b(\sqrt a+\sqrt b)} $$

$$ = \frac{\sqrt a+\sqrt b}{\sqrt{a+b}} -\frac{\sqrt a+\sqrt b}{\sqrt{a+b}} = \frac{a+b+2\sqrt{ab}}{\sqrt{a+b}(\sqrt a+\sqrt b)} $$

Удобнее сразу использовать тождество:

$$ \left(\frac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a^2+ab}}-\frac{\sqrt{ab+b^2}}{\sqrt{ab}+b}\right) = \frac{\sqrt a+\sqrt b}{\sqrt{a+b}} $$

Тогда

$$ \left(\frac{\sqrt a+\sqrt b}{\sqrt{a+b}}\right)^{-2} = \frac{a+b}{(\sqrt a+\sqrt b)^2} = \frac{a+b}{a+2\sqrt{ab}+b} $$

Кроме того,

$$ \frac{\sqrt{a^3b}+\sqrt{ab^3}}{2ab} = \frac{a\sqrt{ab}+b\sqrt{ab}}{2ab} = \frac{a+b}{2\sqrt{ab}} $$

После приведения к общему знаменателю получаем:

$$ \frac{(a+b)^2}{4ab} $$

2) Рассмотрим второе выражение:

$$ (\sqrt a+\sqrt b)^{-2}\left(\frac1a+\frac1b\right) +\frac{2\left(a^{-1/2}+b^{-1/2}\right)}{(\sqrt a+\sqrt b)^3} $$

$$ (\sqrt a+\sqrt b)^{-2}=\frac1{(\sqrt a+\sqrt b)^2}, \qquad \frac1a+\frac1b=\frac{a+b}{ab} $$

$$ \frac1{(\sqrt a+\sqrt b)^2}\cdot\frac{a+b}{ab} +\frac{2\left(\frac1{\sqrt a}+\frac1{\sqrt b}\right)}{(\sqrt a+\sqrt b)^3} $$

$$ = \frac{a+b}{ab(\sqrt a+\sqrt b)^2} +\frac{2(\sqrt a+\sqrt b)}{\sqrt{ab}(\sqrt a+\sqrt b)^3} = \frac{a+b}{ab(\sqrt a+\sqrt b)^2} +\frac{2}{\sqrt{ab}(\sqrt a+\sqrt b)^2} $$

$$ = \frac{a+b+2\sqrt{ab}}{ab(\sqrt a+\sqrt b)^2} = \frac{(\sqrt a+\sqrt b)^2}{ab(\sqrt a+\sqrt b)^2} = \frac1{ab} $$