Упр.753 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

$$a^{-1}b^{-2}-\frac{a^{-2}b^{-1}}{a^{5/3}b^{-2}}-b^{-5/3}a^{-2}-a^{1/3}b^{1/3}$$

Преобразуем выражение:

$$\frac{a^{-1}b^{-2}-a^{-2}b^{-1}}{a^{-5/3}b^{-2}-b^{-5/3}a^{-2}}-a^{1/3}b^{1/3}$$

Вынесем в числителе и знаменателе общие множители:

$$a^{-1}b^{-2}-a^{-2}b^{-1}=a^{-2}b^{-2}(a-b),$$
$$a^{-5/3}b^{-2}-b^{-5/3}a^{-2}=a^{-2}b^{-2}\left(a^{1/3}-b^{1/3}\right).$$

Тогда

$$\frac{a^{-1}b^{-2}-a^{-2}b^{-1}}{a^{-5/3}b^{-2}-b^{-5/3}a^{-2}} = \frac{a^{-2}b^{-2}(a-b)}{a^{-2}b^{-2}\left(a^{1/3}-b^{1/3}\right)} = \frac{a-b}{a^{1/3}-b^{1/3}}.$$

Используем формулу разности кубов:

$$a-b=\left(a^{1/3}-b^{1/3}\right)\left(a^{2/3}+a^{1/3}b^{1/3}+b^{2/3}\right).$$

Тогда

$$\frac{a-b}{a^{1/3}-b^{1/3}}=a^{2/3}+a^{1/3}b^{1/3}+b^{2/3}.$$

Теперь вычтем $$a^{1/3}b^{1/3}$$:

$$a^{2/3}+a^{1/3}b^{1/3}+b^{2/3}-a^{1/3}b^{1/3}=a^{2/3}+b^{2/3}.$$

Ответ

$$a^{2/3}+b^{2/3}$$