Упр.753 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 753 a^-1b^-2 — a^-2b^-1/a^5/3b^-2 — b^-5/3a^-2 — a1/3b1/3.

Подробный ответ

Преобразуем выражение:

$$ \frac{a^{-1}b^{-2}-a^{-2}b^{-1}}{a^{-5/3}b^{-2}-b^{-5/3}a^{-2}}-a^{1/3}b^{1/3} $$

Вынесем в числителе и знаменателе общие множители:

$$ a^{-1}b^{-2}-a^{-2}b^{-1}=a^{-2}b^{-2}(a-b), $$
$$ a^{-5/3}b^{-2}-b^{-5/3}a^{-2}=a^{-2}b^{-2}\left(a^{1/3}-b^{1/3}\right). $$

Тогда

$$ \frac{a^{-1}b^{-2}-a^{-2}b^{-1}}{a^{-5/3}b^{-2}-b^{-5/3}a^{-2}} = \frac{a^{-2}b^{-2}(a-b)}{a^{-2}b^{-2}\left(a^{1/3}-b^{1/3}\right)} = \frac{a-b}{a^{1/3}-b^{1/3}}. $$

Используем формулу разности кубов:

$$ a-b=\left(a^{1/3}-b^{1/3}\right)\left(a^{2/3}+a^{1/3}b^{1/3}+b^{2/3}\right). $$

Тогда

$$ \frac{a-b}{a^{1/3}-b^{1/3}}=a^{2/3}+a^{1/3}b^{1/3}+b^{2/3}. $$

Теперь вычтем $$a^{1/3}b^{1/3}$$:

$$ a^{2/3}+a^{1/3}b^{1/3}+b^{2/3}-a^{1/3}b^{1/3}=a^{2/3}+b^{2/3}. $$