Упр.750 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Упростить выражение (750—756).

750. а) $$\frac{x^{1/2}}{1+x^{1/2}}\cdot\frac{x^{1/2}}{1-x^{1/2}}-\frac{1}{x^{1/2}-x}$$;

     б) $$\frac{m+2m^{1/2}+1}{2m^{1/2}}\cdot\left(\frac{2m^{1/2}}{m^{1/2}-1}-\frac{4m^{1/2}}{m-1}\right)$$.

1) $$\frac{x^{1/2}}{1+x^{1/2}}\left(\frac{x^{1/2}}{1-x^{1/2}}-\frac{1}{x^{1/2}-x}\right)$$

Положим $$\sqrt{x}=t$$. Тогда $$x=t^2$$, и выражение примет вид

$$\frac{t}{1+t}\left(\frac{t}{1-t}-\frac{1}{t-t^2}\right).$$

Так как $$t-t^2=t(1-t)$$, получаем

$$\frac{t}{1+t}\left(\frac{t}{1-t}-\frac{1}{t(1-t)}\right) =\frac{t}{1+t}\cdot \frac{t^2-1}{t(1-t)}.$$

Упростим:

$$\frac{t}{1+t}\cdot \frac{(t-1)(t+1)}{t(1-t)} =\frac{t-1}{1-t}=-1.$$

2) $$\frac{m+2m^{1/2}+1}{2m^{1/2}}\left(\frac{2m^{1/2}}{m^{1/2}-1}-\frac{4m^{1/2}}{m-1}\right)$$

Положим $$\sqrt{m}=u$$, тогда $$m=u^2$$ и $$m-1=u^2-1=(u-1)(u+1)$$. Получаем

$$\frac{u^2+2u+1}{2u}\left(\frac{2u}{u-1}-\frac{4u}{u^2-1}\right) =\frac{(u+1)^2}{2u}\left(\frac{2u}{u-1}-\frac{4u}{(u-1)(u+1)}\right).$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{(u+1)^2}{2u}\cdot \frac{2u(u+1)-4u}{(u-1)(u+1)} =\frac{(u+1)^2}{2u}\cdot \frac{2u(u-1)}{(u-1)(u+1)}.$$

Сокращаем:

$$\frac{u+1}{2u}\cdot 2u=u+1.$$

Возвращаясь к переменной $$m$$, получаем $$\sqrt{m}+1$$.

Ответ

1) $$-1$$; 2) $$\sqrt{m}+1$$.