Упр.749 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
- Упростить выражение и найти его значение:
1) $$\left(1+\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}\right)\left(1-\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}\right)$$ при $$a=5,\ x=4$$;
2) $$\frac{a+\sqrt{a^2-x^2}}{a-\sqrt{a^2-x^2}}-\frac{a-\sqrt{a^2-x^2}}{a+\sqrt{a^2-x^2}}$$ при $$a=3,\ x=\sqrt{5}$$.
1) Упростим выражение:
$$\left(1+\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}\right)\left(1-\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}\right) =1-\frac{a-x}{a+x}$$
$$=\frac{a+x-(a-x)}{a+x}=\frac{2x}{a+x}.$$
Подставим $$a=5$$, $$x=4$$:
$$\frac{2x}{a+x}=\frac{2\cdot 4}{5+4}=\frac{8}{9}.$$
2) Упростим выражение:
$$\frac{a+\sqrt{a^2-x^2}}{a-\sqrt{a^2-x^2}}-\frac{a-\sqrt{a^2-x^2}}{a+\sqrt{a^2-x^2}}$$
$$=\frac{\left(a+\sqrt{a^2-x^2}\right)^2-\left(a-\sqrt{a^2-x^2}\right)^2}{\left(a-\sqrt{a^2-x^2}\right)\left(a+\sqrt{a^2-x^2}\right)}.$$
Числитель:
$$\left(a+\sqrt{a^2-x^2}\right)^2-\left(a-\sqrt{a^2-x^2}\right)^2=4a\sqrt{a^2-x^2}.$$
Знаменатель:
$$\left(a-\sqrt{a^2-x^2}\right)\left(a+\sqrt{a^2-x^2}\right)=a^2-(a^2-x^2)=x^2.$$
Значит,
$$\frac{a+\sqrt{a^2-x^2}}{a-\sqrt{a^2-x^2}}-\frac{a-\sqrt{a^2-x^2}}{a+\sqrt{a^2-x^2}} =\frac{4a\sqrt{a^2-x^2}}{x^2}.$$
Подставим $$a=3$$, $$x=\sqrt{5}$$:
$$\frac{4a\sqrt{a^2-x^2}}{x^2} =\frac{4\cdot 3\cdot \sqrt{3^2-(\sqrt{5})^2}}{(\sqrt{5})^2} =\frac{12\sqrt{9-5}}{5} =\frac{12\cdot 2}{5} =\frac{24}{5}=4{,}8.$$
Ответ
1) $$\frac{8}{9}$$; 2) $$4{,}8$$.
