Упр.749 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

1) (1+ корень a-x/a+x) * (1- корень a-x/a+x) при a=5,x=4;
2) a + корень a2 — x2/ a — корень a2-x2 — a — корень a2 — x2 / a + корень a2 — x2 при a=3, x= корень 5.

Подробный ответ

1) Упростим выражение:

$$\left(1+\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}\right)\left(1-\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}\right) =1-\frac{a-x}{a+x}$$
$$=\frac{a+x-(a-x)}{a+x}=\frac{2x}{a+x}.$$

Подставим $$a=5$$, $$x=4$$:

$$\frac{2x}{a+x}=\frac{2\cdot 4}{5+4}=\frac{8}{9}.$$

2) Упростим выражение:

$$\frac{a+\sqrt{a^2-x^2}}{a-\sqrt{a^2-x^2}}-\frac{a-\sqrt{a^2-x^2}}{a+\sqrt{a^2-x^2}}$$
$$=\frac{\left(a+\sqrt{a^2-x^2}\right)^2-\left(a-\sqrt{a^2-x^2}\right)^2}{\left(a-\sqrt{a^2-x^2}\right)\left(a+\sqrt{a^2-x^2}\right)}.$$

Числитель:

$$\left(a+\sqrt{a^2-x^2}\right)^2-\left(a-\sqrt{a^2-x^2}\right)^2=4a\sqrt{a^2-x^2}.$$

Знаменатель:

$$\left(a-\sqrt{a^2-x^2}\right)\left(a+\sqrt{a^2-x^2}\right)=a^2-(a^2-x^2)=x^2.$$

Значит,

$$\frac{a+\sqrt{a^2-x^2}}{a-\sqrt{a^2-x^2}}-\frac{a-\sqrt{a^2-x^2}}{a+\sqrt{a^2-x^2}} =\frac{4a\sqrt{a^2-x^2}}{x^2}.$$

Подставим $$a=3$$, $$x=\sqrt{5}$$:

$$\frac{4a\sqrt{a^2-x^2}}{x^2} =\frac{4\cdot 3\cdot \sqrt{3^2-(\sqrt{5})^2}}{(\sqrt{5})^2} =\frac{12\sqrt{9-5}}{5} =\frac{12\cdot 2}{5} =\frac{24}{5}=4{,}8.$$