Упр.743 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Разложить на множители многочлен: 1) $$4x^4+4x^3-25x^2-x+6$$; 2) $$x^4-2x^3-14x^2-6x+5$$.

1. Разложим многочлен $$4x^4+4x^3-25x^2-x+6$$ на множители.

   Подбираем корни по теореме Безу: $$x=2$$ и $$x=-3$$.

   Тогда

   $$4x^4+4x^3-25x^2-x+6=(x-2)(x+3)(4x^2-1).$$

   Далее разложим разность квадратов:

   $$4x^2-1=(2x-1)(2x+1).$$

   Получаем:

   $$4x^4+4x^3-25x^2-x+6=(x-2)(x+3)(2x-1)(2x+1).$$

2. Разложим многочлен $$x^4-2x^3-14x^2-6x+5$$ на множители.

   Подбираем корни по теореме Безу: $$x=5$$ и $$x=-1$$.

   Тогда

   $$x^4-2x^3-14x^2-6x+5=(x-5)(x+1)(x^2+2x-1).$$

   Осталось разложить квадратный трёхчлен:

   $$x^2+2x-1=0,$$

   $$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-1)=8,$$

   $$x_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{8}}{2}=-1\pm\sqrt2.$$

   Значит,

   $$x^2+2x-1=(x+1-\sqrt2)(x+1+\sqrt2).$$

   Итак,

   $$x^4-2x^3-14x^2-6x+5=(x-5)(x+1)(x+1-\sqrt2)(x+1+\sqrt2).$$

Ответ

1) $$4x^4+4x^3-25x^2-x+6=(x-2)(x+3)(2x-1)(2x+1);$$

2) $$x^4-2x^3-14x^2-6x+5=(x-5)(x+1)(x+1-\sqrt2)(x+1+\sqrt2).$$