Упр.734 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

z1/z2 = z1/z2m z=/0.

Пусть $$z_1=x_1+iy_1,$$ $$z_2=x_2+iy_2,$$ где $$z_2\ne 0.$$ Тогда

$$ \left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \left|\frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}\right| = \left|\frac{(x_1+iy_1)(x_2-iy_2)}{(x_2+iy_2)(x_2-iy_2)}\right| $$

$$ = \left|\frac{(x_1x_2+y_1y_2)+i(x_2y_1-x_1y_2)}{x_2^2+y_2^2}\right| = \frac{\sqrt{(x_1x_2+y_1y_2)^2+(x_2y_1-x_1y_2)^2}}{x_2^2+y_2^2}. $$

Раскроем скобки под корнем:

$$ (x_1x_2+y_1y_2)^2+(x_2y_1-x_1y_2)^2 = x_1^2x_2^2+x_1^2y_2^2+x_2^2y_1^2+y_1^2y_2^2. $$

Тогда

$$ \left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{\sqrt{(x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2)}}{x_2^2+y_2^2} = \frac{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}{\sqrt{x_2^2+y_2^2}} = \frac{|z_1|}{|z_2|}. $$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$ \left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|},\qquad z_2\ne 0. $$