Упр.734 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Доказать равенство $$\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1}{z_2}$$, $$z\ne0$$.

Пусть $$z_1=x_1+iy_1,$$ $$z_2=x_2+iy_2,$$ где $$z_2\ne 0.$$ Тогда

$$\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \left|\frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}\right| = \left|\frac{(x_1+iy_1)(x_2-iy_2)}{(x_2+iy_2)(x_2-iy_2)}\right|$$

$$= \left|\frac{(x_1x_2+y_1y_2)+i(x_2y_1-x_1y_2)}{x_2^2+y_2^2}\right| = \frac{\sqrt{(x_1x_2+y_1y_2)^2+(x_2y_1-x_1y_2)^2}}{x_2^2+y_2^2}.$$

Раскроем скобки под корнем:

$$(x_1x_2+y_1y_2)^2+(x_2y_1-x_1y_2)^2 = x_1^2x_2^2+x_1^2y_2^2+x_2^2y_1^2+y_1^2y_2^2.$$

Тогда

$$\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{\sqrt{(x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2)}}{x_2^2+y_2^2} = \frac{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}{\sqrt{x_2^2+y_2^2}} = \frac{|z_1|}{|z_2|}.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|},\qquad z_2\ne 0.$$