Упр.730 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Пусть $$0

1. точка $$\frac{a+b}{2}$$ — середина отрезка $$[a;b]$$;
2. точка $$\frac{a+bc}{1+c}$$, где $$c>0$$, лежит внутри отрезка $$[a;b]$$.

Пусть $$0<a<b.$$

1. Докажем, что точка $$\frac{a+b}{2}$$ — середина отрезка $$[a;b].$$ Для этого достаточно показать, что расстояния от неё до концов отрезка равны:

   $$\frac{a+b}{2}-a=\frac{a+b-2a}{2}=\frac{b-a}{2}>0,$$

   $$b-\frac{a+b}{2}=\frac{2b-a-b}{2}=\frac{b-a}{2}>0.$$

   Следовательно, точка $$\frac{a+b}{2}$$ равноудалена от точек $$a$$ и $$b$$, значит, это середина отрезка $$[a;b].$$

2. Рассмотрим точку $$\frac{a+bc}{1+c}, \quad c>0.$$ Покажем, что она лежит внутри отрезка $$[a;b].$$

   Сравним её с концами отрезка:

   $$\frac{a+bc}{1+c}-a=\frac{a+bc-a-ac}{1+c}=\frac{c(b-a)}{1+c}>0,$$

   $$b-\frac{a+bc}{1+c}=\frac{b+bc-a-bc}{1+c}=\frac{b-a}{1+c}>0.$$

   Значит,

   $$a<\frac{a+bc}{1+c}<b,$$

   то есть точка $$\frac{a+bc}{1+c}$$ лежит внутри отрезка $$[a;b].$$

Ответ

1) $$\frac{a+b}{2}$$ — середина отрезка $$[a;b].$$
2) $$\frac{a+bc}{1+c}$$ при $$c>0$$ лежит внутри отрезка $$[a;b].$$