Упр.73 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1) sin2x > 1/4;
2) 3sinx — 2cos2x < 0.

1. $$\sin 2x>\frac14$$

   Используем формулу $$\sin 2x=\frac{1-\cos 2x}{2}$$:

   $$ \frac{1-\cos 2x}{2}>\frac14 $$
   $$ 2-2\cos 2x>1 $$
   $$ 2\cos 2x<1 $$
   $$ \cos 2x<\frac12 $$

   Тогда
   $$ \frac{\pi}{3}+2\pi n<2x<\frac{5\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$
   и, деля на 2, получаем:
   $$ \frac{\pi}{6}+\pi n<x<\frac{5\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

2. $$3\sin x-2\cos^2 x<0$$

   Подставим $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$:

   $$ 3\sin x-2(1-\sin^2 x)<0 $$
   $$ 2\sin^2 x+3\sin x-2<0 $$

   Обозначим $$t=\sin x$$, тогда $$t\in[-1;1]$$ и
   $$ 2t^2+3t-2<0. $$
   Найдём корни:
   $$ D=3^2-4\cdot 2\cdot(-2)=9+16=25, $$
   $$ t_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{4}. $$
   Отсюда
   $$ t_1=-2,\qquad t_2=\frac12. $$

   Так как ветви параболы направлены вверх, то
   $$ -2<t<\frac12. $$
   С учётом $$t\in[-1;1]$$ получаем
   $$ \sin x<\frac12. $$

   Тогда
   $$ \frac{5\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$
   что эквивалентно
   $$ -\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$
   и
   $$ \frac{5\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

Ответ

1) $$\frac{\pi}{6}+\pi n<x<\frac{5\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
2) $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$ $$\frac{5\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$