Упр.73 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Решить неравенство:

1. $$\sin 2x > \frac{1}{4}$$;
2. $$3\sin x — 2\cos 2x < 0$$.

1. $$\sin 2x>\frac14$$

   Используем формулу $$\sin 2x=\frac{1-\cos 2x}{2}$$:

   $$\frac{1-\cos 2x}{2}>\frac14$$
   $$2-2\cos 2x>1$$
   $$2\cos 2x<1$$
   $$\cos 2x<\frac12$$

   Тогда
   $$\frac{\pi}{3}+2\pi n<2x<\frac{5\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
   и, деля на 2, получаем:
   $$\frac{\pi}{6}+\pi n<x<\frac{5\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$3\sin x-2\cos^2 x<0$$

   Подставим $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$:

   $$3\sin x-2(1-\sin^2 x)<0$$
   $$2\sin^2 x+3\sin x-2<0$$

   Обозначим $$t=\sin x$$, тогда $$t\in[-1;1]$$ и
   $$2t^2+3t-2<0.$$
   Найдём корни:
   $$D=3^2-4\cdot 2\cdot(-2)=9+16=25,$$
   $$t_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{4}.$$
   Отсюда
   $$t_1=-2,\qquad t_2=\frac12.$$

   Так как ветви параболы направлены вверх, то
   $$-2<t<\frac12.$$
   С учётом $$t\in[-1;1]$$ получаем
   $$\sin x<\frac12.$$

   Тогда
   $$\frac{5\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
   что эквивалентно
   $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
   и
   $$\frac{5\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$\frac{\pi}{6}+\pi n<x<\frac{5\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
2) $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$ $$\frac{5\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$