Упр.729 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Имеют ли общие точки промежутки:

1. $$[1; 3\sqrt{2}+2\sqrt{7}]$$ и $$[3\sqrt{3}+4; 15]$$;
2. $$\left(0; \sqrt{27}+\sqrt{6}\right)$$ и $$\left(\sqrt{48}-1; 10\right)$$;
3. $$[2; 2\sqrt{5}+2\sqrt{6}]$$ и $$\left(3\sqrt{2}+\sqrt{22}; 11\right)$$;
4. $$[1; 1+\sqrt{3}]$$ и $$\left(\frac{2}{\sqrt{3}}-1; 4\right)$$?

1. Сравним правую границу первого промежутка и левую границу второго:

   $$3\sqrt{2}+2\sqrt{7}=\sqrt{(3\sqrt{2}+2\sqrt{7})^2}=\sqrt{46+12\sqrt{14}}$$
   $$46+12\sqrt{14}=\;46+\sqrt{2016}$$
   $$1936<2016<2025,\quad 44<\sqrt{2016}<45$$
   $$90<46+\sqrt{2016}<91$$

   $$3\sqrt{3}+4=\sqrt{(3\sqrt{3}+4)^2}=\sqrt{43+24\sqrt{3}}=\sqrt{43+\sqrt{1728}}$$
   $$1681<1728<1764,\quad 41<\sqrt{1728}<42$$
   $$84<43+\sqrt{1728}<85$$

   Так как $$84<85<90<91,$$ то $$3\sqrt{3}+4<3\sqrt{2}+2\sqrt{7}.$$ Значит, промежутки имеют общие точки.

2. Сравним правую границу первого промежутка и левую границу второго:

   $$\sqrt{27}+\sqrt{6}=\sqrt{(\sqrt{27}+\sqrt{6})^2}=\sqrt{33+2\sqrt{162}}=\sqrt{33+\sqrt{648}}$$
   $$625<648<676,\quad 25<\sqrt{648}<26$$
   $$52<33+\sqrt{648}<53$$

   $$\sqrt{48}-1=\sqrt{(\sqrt{48}-1)^2}=\sqrt{49-\sqrt{192}}$$
   $$169<192<196,\quad 13<\sqrt{192}<14$$
   $$35<49-\sqrt{192}<36$$

   Так как $$35<36<52<53,$$ то $$\sqrt{48}-1<\sqrt{27}+\sqrt{6}.$$ Следовательно, промежутки имеют общие точки.

3. Сравним правую границу первого промежутка и левую границу второго:

   $$2\sqrt{5}+2\sqrt{6}=\sqrt{(2\sqrt{5}+2\sqrt{6})^2}=\sqrt{44+\sqrt{1920}}$$
   $$1849<1920<1936,\quad 43<\sqrt{1920}<44$$
   $$87<44+\sqrt{1920}<88$$

   $$3\sqrt{2}+\sqrt{22}=\sqrt{(3\sqrt{2}+\sqrt{22})^2}=\sqrt{40+\sqrt{1584}}$$
   $$1521<1584<1600,\quad 39<\sqrt{1584}<40$$
   $$79<40+\sqrt{1584}<80$$

   Так как $$79<80<87<88,$$ то $$3\sqrt{2}+\sqrt{22}<2\sqrt{5}+2\sqrt{6}.$$ Значит, промежутки имеют общие точки.

4. Левая граница второго промежутка:

   $$\frac{2}{\sqrt{3}-1}=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1}=\sqrt{3}+1.$$

   Сравним:

   $$1+\sqrt{3}=\sqrt{3}+1.$$

   Левая граница второго промежутка совпадает с правой границей первого, но второй промежуток открыт слева, поэтому общих точек нет.

Ответ

1) имеют; 2) имеют; 3) имеют; 4) не имеют.