Упр.729 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

1) [1; 3 корень 2 + 2 корень 7] и [3 корень 3 + 4;15];
2) (0; корень 27 + корень 6) и (корень 48 — 1;10);
3) [2;2 корень 5 + 2 корень 6] и (3 корень 2 + корень 22; 11);
4) [1;1 + корень 3] и (2/корень 3 — 1; 4)?

Подробный ответ

Сравним правую границу первого промежутка и левую границу второго:
$$3\sqrt{2}+2\sqrt{7}=\sqrt{(3\sqrt{2}+2\sqrt{7})^2}=\sqrt{46+12\sqrt{14}}$$
$$46+12\sqrt{14}=\;46+\sqrt{2016}$$
$$1936<2016<2025,\quad 44<\sqrt{2016}<45$$
$$90<46+\sqrt{2016}<91$$
$$3\sqrt{3}+4=\sqrt{(3\sqrt{3}+4)^2}=\sqrt{43+24\sqrt{3}}=\sqrt{43+\sqrt{1728}}$$
$$1681<1728<1764,\quad 41<\sqrt{1728}<42$$
$$84<43+\sqrt{1728}<85$$
Так как $$84<85<90<91,$$ то $$3\sqrt{3}+4<3\sqrt{2}+2\sqrt{7}.$$ Значит, промежутки имеют общие точки.
Сравним правую границу первого промежутка и левую границу второго:
$$\sqrt{27}+\sqrt{6}=\sqrt{(\sqrt{27}+\sqrt{6})^2}=\sqrt{33+2\sqrt{162}}=\sqrt{33+\sqrt{648}}$$
$$625<648<676,\quad 25<\sqrt{648}<26$$
$$52<33+\sqrt{648}<53$$
$$\sqrt{48}-1=\sqrt{(\sqrt{48}-1)^2}=\sqrt{49-\sqrt{192}}$$
$$169<192<196,\quad 13<\sqrt{192}<14$$
$$35<49-\sqrt{192}<36$$
Так как $$35<36<52<53,$$ то $$\sqrt{48}-1<\sqrt{27}+\sqrt{6}.$$ Следовательно, промежутки имеют общие точки.
Сравним правую границу первого промежутка и левую границу второго:
$$2\sqrt{5}+2\sqrt{6}=\sqrt{(2\sqrt{5}+2\sqrt{6})^2}=\sqrt{44+\sqrt{1920}}$$
$$1849<1920<1936,\quad 43<\sqrt{1920}<44$$
$$87<44+\sqrt{1920}<88$$
$$3\sqrt{2}+\sqrt{22}=\sqrt{(3\sqrt{2}+\sqrt{22})^2}=\sqrt{40+\sqrt{1584}}$$
$$1521<1584<1600,\quad 39<\sqrt{1584}<40$$
$$79<40+\sqrt{1584}<80$$
Так как $$79<80<87<88,$$ то $$3\sqrt{2}+\sqrt{22}<2\sqrt{5}+2\sqrt{6}.$$ Значит, промежутки имеют общие точки.
Левая граница второго промежутка:
$$\frac{2}{\sqrt{3}-1}=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1}=\sqrt{3}+1.$$
Сравним:
$$1+\sqrt{3}=\sqrt{3}+1.$$
Левая граница второго промежутка совпадает с правой границей первого, но второй промежуток открыт слева, поэтому общих точек нет.