Упр.728 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Пусть $$a$$ — рациональное число, $$b$$ — иррациональное число, $$a \ne 0$$, $$b \ne 0$$. Доказать, что $$a+b$$, $$a \cdot b$$, $$\frac{a}{b}$$, $$\frac{b}{a}$$ — иррациональные числа.

Пусть $$a \in \mathbb{Q}, \quad b \notin \mathbb{Q}, \quad a \ne 0, \quad b \ne 0.$$ Докажем, что числа $$a+b,\; ab,\; \frac{a}{b},\; \frac{b}{a}$$ иррациональны.

1. Предположим, что $$a+b \in \mathbb{Q}.$$ Тогда

   $$b=(a+b)-a.$$

   Правая часть — разность рациональных чисел, значит $$b \in \mathbb{Q},$$ что противоречит условию. Следовательно, $$a+b \notin \mathbb{Q}.$$

2. Предположим, что $$ab \in \mathbb{Q}.$$ Так как $$a \ne 0,$$ то

   $$b=\frac{ab}{a}.$$

   Правая часть — частное рациональных чисел, значит $$b \in \mathbb{Q},$$ противоречие. Значит, $$ab \notin \mathbb{Q}.$$

3. Предположим, что $$\frac{a}{b} \in \mathbb{Q}.$$ Тогда, поскольку $$a \ne 0,$$ имеем

   $$\frac{1}{b}=\frac{1}{a}\cdot \frac{a}{b}.$$

   Правая часть — произведение рациональных чисел, значит $$\frac{1}{b} \in \mathbb{Q},$$ откуда

   $$b=\frac{1}{\,1/b\,} \in \mathbb{Q},$$

   что противоречит условию. Следовательно, $$\frac{a}{b} \notin \mathbb{Q}.$$

4. Предположим, что $$\frac{b}{a} \in \mathbb{Q}.$$ Тогда

   $$b=a\cdot \frac{b}{a}.$$

   Правая часть — произведение рациональных чисел, значит $$b \in \mathbb{Q},$$ противоречие. Значит, $$\frac{b}{a} \notin \mathbb{Q}.$$

Ответ

$$a+b,\; ab,\; \frac{a}{b},\; \frac{b}{a}$$ — иррациональные числа.