Упр.728 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 728 Пусть а — рациональное число, b — иррациональное число, а=/ 0, b =/ 0. Доказать, что а + b, а* b, a/b, b/a иррациональные числа. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 kolyagin11 728 118
Пусть $$a \in \mathbb{Q}, \quad b \notin \mathbb{Q}, \quad a \ne 0, \quad b \ne 0.$$ Докажем, что числа $$a+b,\; ab,\; \frac{a}{b},\; \frac{b}{a}$$ иррациональны.
Предположим, что $$a+b \in \mathbb{Q}.$$ Тогда
$$b=(a+b)-a.$$
Правая часть — разность рациональных чисел, значит $$b \in \mathbb{Q},$$ что противоречит условию. Следовательно, $$a+b \notin \mathbb{Q}.$$
Предположим, что $$ab \in \mathbb{Q}.$$ Так как $$a \ne 0,$$ то
$$b=\frac{ab}{a}.$$
Правая часть — частное рациональных чисел, значит $$b \in \mathbb{Q},$$ противоречие. Значит, $$ab \notin \mathbb{Q}.$$
Предположим, что $$\frac{a}{b} \in \mathbb{Q}.$$ Тогда, поскольку $$a \ne 0,$$ имеем
$$\frac{1}{b}=\frac{1}{a}\cdot \frac{a}{b}.$$
Правая часть — произведение рациональных чисел, значит $$\frac{1}{b} \in \mathbb{Q},$$ откуда
$$b=\frac{1}{\,1/b\,} \in \mathbb{Q},$$
что противоречит условию. Следовательно, $$\frac{a}{b} \notin \mathbb{Q}.$$
Предположим, что $$\frac{b}{a} \in \mathbb{Q}.$$ Тогда
$$b=a\cdot \frac{b}{a}.$$
Правая часть — произведение рациональных чисел, значит $$b \in \mathbb{Q},$$ противоречие. Значит, $$\frac{b}{a} \notin \mathbb{Q}.$$
Ответ
$$a+b,\; ab,\; \frac{a}{b},\; \frac{b}{a}$$ — иррациональные числа.
