Упр.719 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Доказать тождество $$\log_b a \cdot \log_c b \cdot \log_a c = \log_a a$$.

Используем формулу перехода к новому основанию:

$$\log_b a=\frac{\log_d a}{\log_d b}, \qquad \log_c b=\frac{\log_d b}{\log_d c}, \qquad \log_a c=\frac{\log_d c}{\log_d a}.$$

Тогда

$$\log_b a \cdot \log_c b \cdot \log_a c = \frac{\log_d a}{\log_d b}\cdot \frac{\log_d b}{\log_d c}\cdot \frac{\log_d c}{\log_d a} =1.$$

Следовательно,

$$\log_d a=\log_d a,$$

что и требовалось доказать.

Ответ

$$\log_b a \cdot \log_c b \cdot \log_a c=1.$$