Упр.716 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

Какое из чисел больше:
1) $$\sqrt{18}$$ или $$4\log_2 3+\log_4\frac{5}{11}$$;
2) $$\sqrt[3]{18}$$ или $$\frac{1}{6}\log_6 2-\frac{1}{2}\log_{\sqrt{6}}5$$?

Подробный ответ

1) Сравним числа $$\sqrt{18}$$ и $$4^{\log_2 3+\log_4 \frac{5}{11}}.$$

Преобразуем второе число:

$$4^{\log_2 3+\log_4 \frac{5}{11}} =4^{\log_2 3}\cdot 4^{\log_4 \frac{5}{11}} =2^{2\log_2 3}\cdot \frac{5}{11} =3^2\cdot \frac{5}{11} =\frac{45}{11}.$$

Теперь сравним:

$$\frac{45}{11}=\sqrt{\frac{2025}{121}}=\sqrt{16\frac{89}{121}}<\sqrt{18}.$$

Значит, больше число $$\sqrt{18}.$$

2) Сравним числа $$\sqrt[3]{18}$$ и $$\left(\frac16\right)^{\log_6 2-\frac12\log_{\sqrt6} 5}.$$

Преобразуем второе число:

$$\left(\frac16\right)^{\log_6 2-\frac12\log_{\sqrt6} 5} =6^{-\log_6 2+\frac12\log_{\sqrt6} 5}.$$

Так как $$\log_{\sqrt6} 5=\frac{\log_6 5}{\log_6 \sqrt6}=2\log_6 5,$$ то

$$6^{-\log_6 2+\frac12\log_{\sqrt6} 5} =6^{-\log_6 2+\log_6 5} =6^{\log_6 \frac52} =\frac52.$$

Сравним:

$$\frac52=\sqrt[3]{\frac{125}{8}}=\sqrt[3]{15\frac58}<\sqrt[3]{18}.$$

Значит, больше число $$\sqrt[3]{18}.$$