Упр.714 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Сравнить числа:

1. $$2^{\frac{1}{7}}$$ и $$2{,}5^{0{,}5}$$;
2. $$0{,}2^{\frac{2}{3}}$$ и $$0{,}2^{\frac{3}{4}}$$;
3. $$\log_{3{,}1}\sqrt{10}$$ и $$\log_{3{,}1}3$$;
4. $$\log_{0{,}3}\frac{4}{5}$$ и $$\log_{0{,}3}\frac{3}{4}$$.

1. Функция $$y=2{,}5^x$$ возрастает, так как $$2{,}5>1$$. Сравним показатели:

   $$\frac17 \text{ и } 0{,}5=\frac12,\qquad \frac17-\frac12=\frac{2-7}{14}=-\frac5{14}<0.$$

   Значит, $$\frac17<0{,}5$$, поэтому

   $$2{,}5^{\frac17}<2{,}5^{0{,}5}.$$

2. Функция $$y=0{,}2^x$$ убывает, так как $$0{,}2<1$$. Сравним показатели:

   $$\frac23 \text{ и } \frac34,\qquad \frac23-\frac34=\frac{8-9}{12}=-\frac1{12}<0.$$

   Так как функция убывающая, то при меньшем показателе значение больше:

   $$0{,}2^{\frac23}>0{,}2^{\frac34}.$$

3. Функция $$y=\log_{3{,}1}x$$ возрастает, так как $$3{,}1>1$$. Сравним аргументы:

   $$\sqrt{10}\text{ и }3,\qquad \sqrt{10}>3,$$

   поскольку $$10>9.$$ Следовательно,

   $$\log_{3{,}1}\sqrt{10}>\log_{3{,}1}3.$$

4. Функция $$y=\log_{0{,}3}x$$ убывает, так как $$0{,}3<1$$. Сравним аргументы:

   $$\frac45 \text{ и } \frac34,\qquad \frac45-\frac34=\frac{16-15}{20}=\frac1{20}>0.$$

   Значит, $$\frac45>\frac34$$, а для убывающей логарифмической функции это даёт

   $$\log_{0{,}3}\frac45<\log_{0{,}3}\frac34.$$

Ответ

$$2{,}5^{\frac17}<2{,}5^{0{,}5};\quad 0{,}2^{\frac23}>0{,}2^{\frac34};\quad \log_{3{,}1}\sqrt{10}>\log_{3{,}1}3;\quad \log_{0{,}3}\frac45<\log_{0{,}3}\frac34.$$