Упр.71 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
- Построить график функции:
1) $$y=\sin|x|$$;
2) $$y=|\sin x|$$;
3) $$y=\sin x-x$$;
4) $$y=\mathrm{logisin}\,x$$.
Для функции $$y=\sin|x|$$ используем чётность по модулю:
$$y=\begin{cases} \sin x, & x\ge 0,\\ -\sin x, & x<0. \end{cases}$$
Значит, правая часть графика $$y=\sin x$$ при $$x\ge 0$$ отражается относительно оси $$Oy$$.
Для функции $$y=|\sin x|$$ отрицательные значения синуса заменяются противоположными, а положительные остаются без изменения:
$$y=\begin{cases} \sin x, & \sin x\ge 0,\\ -\sin x, & \sin x<0. \end{cases}$$
График получается из графика $$y=\sin x$$ отражением всех его частей, лежащих ниже оси $$Ox$$, вверх.
Для функции $$y=\sin x-x$$ найдём основные свойства.
Если $$\sin x=0$$, то
$$y=0-x=-x.$$
Производная:
$$y'(x)=\cos x-1.$$
Стационарные точки:
$$\cos x-1=0,$$
$$\cos x=1,$$
$$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$В этих точках график проходит через начало координат при $$x=0$$ и убывает на всей числовой прямой, так как $$\sin x-x$$ — функция с линейным убыванием и периодическими колебаниями вокруг прямой $$y=-x$$.
Для функции $$y=\log_{\frac12}(\sin x)$$ сначала найдём область определения:
$$\sin x>0.$$
Значит,
$$x\in(2\pi n,\pi+2\pi n),\quad n\in\mathbb Z.$$
Если $$\sin x=1$$, то
$$y=\log_{\frac12}1=0.$$
Если $$0<\sin x<1$$, то при основании $$\frac12<1$$ получаем $$y>0$$.
Следовательно, график состоит из одинаковых ветвей на промежутках, где $$\sin x>0$$, и имеет вертикальные асимптоты при $$x=\pi n$$.
Ответ
1) График $$y=\sin|x|$$ — это правая половина графика $$y=\sin x$$, отражённая относительно оси $$Oy$$.
2) График $$y=|\sin x|$$ получается отражением вниз направленных участков графика $$y=\sin x$$ относительно оси $$Ox$$.
3) График $$y=\sin x-x$$ — убывающая кривая, проходящая через точки $$x=2\pi n$$, с колебаниями вокруг прямой $$y=-x$$.
4) Область определения $$y=\log_{\frac12}(\sin x)$$: $$\sin x>0$$, то есть $$x\in(2\pi n,\pi+2\pi n),\ n\in\mathbb Z$$.
