Упр.71 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1) y = sin|x|;
2) y = |sinx|;
3) у = sin х — х;
4) у = logisin х.

1. Для функции $$y=\sin|x|$$ используем чётность по модулю:

   $$y=\begin{cases} \sin x, & x\ge 0,\\ -\sin x, & x<0. \end{cases}$$

   Значит, правая часть графика $$y=\sin x$$ при $$x\ge 0$$ отражается относительно оси $$Oy$$.

2. Для функции $$y=|\sin x|$$ отрицательные значения синуса заменяются противоположными, а положительные остаются без изменения:

   $$y=\begin{cases} \sin x, & \sin x\ge 0,\\ -\sin x, & \sin x<0. \end{cases}$$

   График получается из графика $$y=\sin x$$ отражением всех его частей, лежащих ниже оси $$Ox$$, вверх.

3. Для функции $$y=\sin x-x$$ найдём основные свойства.

   Если $$\sin x=0$$, то

   $$y=0-x=-x.$$

   Производная:

   $$y'(x)=\cos x-1.$$

   Стационарные точки:

   $$\cos x-1=0,$$
   $$\cos x=1,$$
   $$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   В этих точках график проходит через начало координат при $$x=0$$ и убывает на всей числовой прямой, так как $$\sin x-x$$ — функция с линейным убыванием и периодическими колебаниями вокруг прямой $$y=-x$$.

4. Для функции $$y=\log_{\frac12}(\sin x)$$ сначала найдём область определения:

   $$\sin x>0.$$

   Значит,

   $$x\in(2\pi n,\pi+2\pi n),\quad n\in\mathbb Z.$$

   Если $$\sin x=1$$, то

   $$y=\log_{\frac12}1=0.$$

   Если $$0<\sin x<1$$, то при основании $$\frac12<1$$ получаем $$y>0$$.

   Следовательно, график состоит из одинаковых ветвей на промежутках, где $$\sin x>0$$, и имеет вертикальные асимптоты при $$x=\pi n$$.

Ответ

1) График $$y=\sin|x|$$ — это правая половина графика $$y=\sin x$$, отражённая относительно оси $$Oy$$.
2) График $$y=|\sin x|$$ получается отражением вниз направленных участков графика $$y=\sin x$$ относительно оси $$Ox$$.
3) График $$y=\sin x-x$$ — убывающая кривая, проходящая через точки $$x=2\pi n$$, с колебаниями вокруг прямой $$y=-x$$.
4) Область определения $$y=\log_{\frac12}(\sin x)$$: $$\sin x>0$$, то есть $$x\in(2\pi n,\pi+2\pi n),\ n\in\mathbb Z$$.