Упр.706 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Доказать, что произведение любых $$n$$ последовательных натуральных чисел делится на $$n!$$.

Пусть данные $$n$$ последовательных натуральных чисел имеют вид

$$k+1,\ k+2,\ \ldots,\ k+n.$$

Тогда их произведение равно

$$P=(k+1)(k+2)\cdots(k+n).$$

Умножим и разделим это произведение на $$k!$$:

$$P=\frac{(k+1)(k+2)\cdots(k+n)\,k!}{k!} =\frac{(k+n)!}{k!}.$$

Теперь рассмотрим отношение

$$\frac{P}{n!}=\frac{(k+n)!}{n!\,k!}.$$

Это биномиальный коэффициент:

$$\frac{(k+n)!}{n!\,k!}=C_{k+n}^{\,n}.$$

Так как биномиальный коэффициент — целое число, то

$$\frac{P}{n!}\in \mathbb{N}.$$

Следовательно, произведение любых $$n$$ последовательных натуральных чисел делится на $$n!$$.

Ответ

Доказано: $$(k+1)(k+2)\cdots(k+n)$$ делится на $$n!$$.