Упр.706 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 706. Доказать, что произведение любых n последовательных натуральных чисел делится на n!. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 kolyagin11 706 118

Пусть данные $$n$$ последовательных натуральных чисел имеют вид

$$k+1,\ k+2,\ \ldots,\ k+n.$$

Тогда их произведение равно

$$P=(k+1)(k+2)\cdots(k+n).$$

Умножим и разделим это произведение на $$k!$$:

$$ P=\frac{(k+1)(k+2)\cdots(k+n)\,k!}{k!} =\frac{(k+n)!}{k!}. $$

Теперь рассмотрим отношение

$$ \frac{P}{n!}=\frac{(k+n)!}{n!\,k!}. $$

Это биномиальный коэффициент:

$$ \frac{(k+n)!}{n!\,k!}=C_{k+n}^{\,n}. $$

Так как биномиальный коэффициент — целое число, то

$$\frac{P}{n!}\in \mathbb{N}.$$

Следовательно, произведение любых $$n$$ последовательных натуральных чисел делится на $$n!$$.

Ответ

Доказано: $$ (k+1)(k+2)\cdots(k+n) $$ делится на $$n!$$.