Упр.705 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 705. Делится ли на 7 число сочетаний из 1000 элементов по 500? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 kolyagin11 705 118

Рассмотрим число сочетаний:

$$C_{1000}^{500}=\frac{1000!}{500!(1000-500)!}=\frac{1000!}{500!\cdot 500!}.$$

Проверим, делится ли это число на $7$.

В числителе произведение $1000!$ содержит числа, кратные $7$:

$$\left\lfloor \frac{1000}{7} \right\rfloor+\left\lfloor \frac{1000}{49} \right\rfloor+\left\lfloor \frac{1000}{343} \right\rfloor=142+20+2=164.$$

В знаменателе произведение $500!\cdot 500!$ содержит числа, кратные $7$:

$$2\left(\left\lfloor \frac{500}{7} \right\rfloor+\left\lfloor \frac{500}{49} \right\rfloor+\left\lfloor \frac{500}{343} \right\rfloor\right)=2(71+10+1)=164.$$

Количество множителей $7$ в числителе и знаменателе одинаково, значит, после сокращения на $7$ в результате не останется.

Ответ

Нет, число $C_{1000}^{500}$ на $7$ не делится.