Упр.705 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Делится ли на 7 число сочетаний из 1000 элементов по 500?

Рассмотрим число сочетаний:

$$C_{1000}^{500}=\frac{1000!}{500!(1000-500)!}=\frac{1000!}{500!\cdot 500!}.$$

Проверим, делится ли это число на $$7$$.

В числителе произведение $$1000!$$ содержит числа, кратные $$7$$:

$$\left\lfloor \frac{1000}{7} \right\rfloor+\left\lfloor \frac{1000}{49} \right\rfloor+\left\lfloor \frac{1000}{343} \right\rfloor=142+20+2=164.$$

В знаменателе произведение $$500!\cdot 500!$$ содержит числа, кратные $$7$$:

$$2\left(\left\lfloor \frac{500}{7} \right\rfloor+\left\lfloor \frac{500}{49} \right\rfloor+\left\lfloor \frac{500}{343} \right\rfloor\right)=2(71+10+1)=164.$$

Количество множителей $$7$$ в числителе и знаменателе одинаково, значит, после сокращения на $$7$$ в результате не останется.

Ответ

Нет, число $$C_{1000}^{500}$$ на $$7$$ не делится.