Упр.704 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найти две последние цифры числа: 1) $$2^{999}$$; 2) $$3^{999}$$.

Найдём остаток от деления на $$100$$, то есть две последние цифры числа.

1. Для числа $$2^{999}$$ заметим, что последние две цифры степеней двойки повторяются с периодом $$20$$:

   $$999=20\cdot 49+19.$$

   Значит, последние две цифры числа $$2^{999}$$ совпадают с последними двумя цифрами числа $$2^{19}$$.

   $$2^{19}=524288,$$

   поэтому последние две цифры — $$88$$.

2. Для числа $$3^{999}$$ последние две цифры степеней тройки также повторяются с периодом $$20$$:

   $$999=20\cdot 49+19.$$

   Следовательно, последние две цифры числа $$3^{999}$$ совпадают с последними двумя цифрами числа $$3^{19}$$.

   $$3^{19}=1162261467,$$

   значит, последние две цифры — $$67$$.

Ответ

1) $$88$$; 2) $$67$$.