Упр.702 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 702. Доказать, что n5-5n3 + 4n делится на 120 при n принадлежит N. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 kolyagin11 702 118

Преобразуем выражение:

$$n^5-5n^3+4n=n(n^4-5n^2+4).$$

Обозначим $$x=n^2$$. Тогда

$$n^4-5n^2+4=x^2-5x+4=(x-1)(x-4).$$

Следовательно,

$$n^5-5n^3+4n=n(n^2-1)(n^2-4).$$

Разложим на множители:

$$n(n^2-1)(n^2-4)=n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2).$$

Это произведение пяти последовательных целых чисел. Среди любых пяти последовательных чисел обязательно есть:

• число, делящееся на $$5$$;
• число, делящееся на $$4$$;
• число, делящееся на $$3$$;
• два числа, делящиеся на $$2$$.

Значит, произведение делится на

$$5\cdot 4\cdot 3\cdot 2=120.$$

Следовательно, $$n^5-5n^3+4n$$ делится на $$120$$ при любом $$n\in \mathbb{N}$$.

Ответ

$$n^5-5n^3+4n$$ делится на $$120$$ при любом $$n\in \mathbb{N}$$.