Упр.701 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
- Доказать, что $$3^{6n}-2^{6n}$$ делится на $$35$$ при $$n\in\mathbb{N}$$.
Докажем утверждение методом математической индукции.
1) База индукции. При $$n=1$$ имеем:
$$3^6-2^6=729-64=665.$$
Число $$665$$ делится на $$35$$, так как $$665=35\cdot 19$$.
2) Индукционный переход. Пусть для некоторого $$n=k$$ выражение $$3^{6k}-2^{6k}$$ делится на $$35$$. Докажем, что тогда и $$3^{6(k+1)}-2^{6(k+1)}$$ делится на $$35$$.
Рассмотрим:
$$3^{6(k+1)}-2^{6(k+1)}=3^6\cdot 3^{6k}-2^6\cdot 2^{6k}.$$
Так как $$3^6=729$$ и $$2^6=64$$, то
$$3^{6(k+1)}-2^{6(k+1)}=729\cdot 3^{6k}-64\cdot 2^{6k}.$$
Представим $$729$$ как $$665+64$$:
$$729\cdot 3^{6k}-64\cdot 2^{6k} =665\cdot 3^{6k}+64\cdot 3^{6k}-64\cdot 2^{6k}$$
$$=35\cdot 19\cdot 3^{6k}+64\bigl(3^{6k}-2^{6k}\bigr).$$
Первое слагаемое делится на $$35$$, а второе делится на $$35$$ по предположению индукции. Значит, их сумма тоже делится на $$35$$.
Следовательно, $$3^{6n}-2^{6n}$$ делится на $$35$$ при любом $$n\in \mathbb{N}$$.
Ответ
$$3^{6n}-2^{6n}$$ делится на $$35$$ при всех $$n\in \mathbb{N}$$.
