Упр.701 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 701. Доказать, что З6n — 26n делится на 35 при n принадлежит N. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 kolyagin11 701 118

Подробный ответ

Докажем утверждение методом математической индукции.

1) База индукции. При $$n=1$$ имеем:

$$3^6-2^6=729-64=665.$$

Число $$665$$ делится на $$35$$, так как $$665=35\cdot 19$$.

2) Индукционный переход. Пусть для некоторого $$n=k$$ выражение $$3^{6k}-2^{6k}$$ делится на $$35$$. Докажем, что тогда и $$3^{6(k+1)}-2^{6(k+1)}$$ делится на $$35$$.

Рассмотрим:

$$ 3^{6(k+1)}-2^{6(k+1)}=3^6\cdot 3^{6k}-2^6\cdot 2^{6k}. $$

Так как $$3^6=729$$ и $$2^6=64$$, то

$$ 3^{6(k+1)}-2^{6(k+1)}=729\cdot 3^{6k}-64\cdot 2^{6k}. $$

Представим $$729$$ как $$665+64$$:

$$ 729\cdot 3^{6k}-64\cdot 2^{6k} =665\cdot 3^{6k}+64\cdot 3^{6k}-64\cdot 2^{6k} $$

$$ =35\cdot 19\cdot 3^{6k}+64\bigl(3^{6k}-2^{6k}\bigr). $$

Первое слагаемое делится на $$35$$, а второе делится на $$35$$ по предположению индукции. Значит, их сумма тоже делится на $$35$$.

Следовательно, $$3^{6n}-2^{6n}$$ делится на $$35$$ при любом $$n\in \mathbb{N}$$.