Упр.700 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Доказать, что при любом натуральном $$n$$: 1) $$6n^5-11n$$ делится на $$5$$; 2) $$n^7-n$$ делится на $$7$$.

Докажем утверждения методом математической индукции.

1. $$6n^5-11n$$ делится на $$5$$.

   При $$n=1$$:

   $$6\cdot 1^5-11\cdot 1=6-11=-5,$$

   то есть выражение делится на $$5$$.

   Пусть при $$n=k$$ выражение $$6k^5-11k$$ делится на $$5$$. Докажем, что тогда оно делится на $$5$$ и при $$n=k+1$$:

   $$\begin{aligned} 6(k+1)^5-11(k+1) &=6(k^5+5k^4+10k^3+10k^2+5k+1)-11k-11 \\ &=6k^5+30k^4+60k^3+60k^2+30k+6-11k-11 \\ &=(6k^5-11k)+5(6k^4+12k^3+12k^2+6k-1). \end{aligned}$$

   Первое слагаемое делится на $$5$$ по предположению индукции, второе тоже делится на $$5$$. Значит, $$6(k+1)^5-11(k+1)$$ делится на $$5$$.

2. $$n^7-n$$ делится на $$7$$.

   При $$n=1$$:

   $$1^7-1=1-1=0,$$

   то есть выражение делится на $$7$$.

   Пусть при $$n=k$$ выражение $$k^7-k$$ делится на $$7$$. Докажем, что тогда оно делится на $$7$$ и при $$n=k+1$$:

   $$\begin{aligned} (k+1)^7-(k+1) &=k^7+7k^6+21k^5+35k^4+35k^3+21k^2+7k+1-k-1 \\ &=(k^7-k)+7(k^6+3k^5+5k^4+5k^3+3k^2+k). \end{aligned}$$

   Первое слагаемое делится на $$7$$ по предположению индукции, второе тоже делится на $$7$$. Следовательно, $$(k+1)^7-(k+1)$$ делится на $$7$$.

Ответ

$$6n^5-11n$$ делится на $$5$$ при любом натуральном $$n$$; $$n^7-n$$ делится на $$7$$ при любом натуральном $$n$$.